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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Seien X und Y zwei ZV'en mit X~P(2) und Y~Exp(3). Sei [mm] h:\IR \to \IR [/mm] durch
[mm] h(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le \mbox{ -2 } \\ x^{2}, & \mbox{für } -2 < x \le 3 \mbox{ } \end{cases} [/mm] oder h(x) = 12 - x für 3 < x
definiert.
Berechnen Sie E(h(X)) und E(h(Y)). |
Hallo,
Ich habe im Buch folgende Gleichung gefunden:
X diskret , [mm] h:\IR \to \IR [/mm] : [mm] E(h(X))=\summe_{i}^{}h(x_{i})*P(X=x_{i}).
[/mm]
Ich habe gedacht: da X Poisson verteilt ist, dann ist die ZV X diskret (oder kann eine Poisson-verteilte ZV auch stetig sein?), das hieße, dass X nur diskrete Werte annimmt. Jedoch in der oberen Gleichung aus dem Buch wird die Wahrscheinlichkeit von [mm] X=x_{i} [/mm] angegeben.Ich habe das so interpretiert, dass X stetig verteilt sein muss, da [mm] x_{i} [/mm] Werte von der Funktion h kommen, die nicht nur diskrete Werte in ihrem Definitionsbereich einnimt (also auch alle reelle Werte). Dann kann ich [mm] P(X=x_{i}) [/mm] nicht als Poisson-Verteilung ausdrücken.
Kann mir jemand hier einen Tipp geben?
Schöne Grüße
Igor
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Da hast Du schon Recht. Da X Poisson verteilt ist, kann X nur diskrete Werte annehmen. Wo genau Dein Problem nun ist, verstehe ich nicht. Der E-Wert von h(X) ist in deiner obigen Gleichung doch als Summe angegeben (also für diskrete Werte) und nicht als Integral für stetige Verteilungen...
[mm] P(X=x_{i}) [/mm] = [mm] e^{-2}* \bruch{-2^{x_{i}}}{x_{i}!}. [/mm] Für alle [mm] x_{i}, [/mm] die keine natürliche Zahl sind, ist [mm] P(X=x_{i})= [/mm] 0 und somit auch der Summand für den E-Wert dazu. Somit musst Du den E-Wert nur für die diskreten Werte [mm] x_{i}, [/mm] die also eine positive Wahrscheinlichkeit haben berechnen.
Startwert deiner Summe ist also [mm] x_{i}=0. [/mm]
Versuche nun mal es auszurechnen.
Für h(Y) gilt die E-Wert-Darstellung dementsprechend als Integral.
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