Erwartungswerte < Sonstige < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Fr 24.06.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen & Helfer!
Ich befasse mich gerade mit einer Aufgabe zum Thema "Erwartungswert" und ich soll Folgendes zeigen:
Es seien [mm] X,Y,X_1,X_2,...\in\mathcal{L}^1.
[/mm]
Zeige:
Ist [mm] X_n\geq [/mm] 0 für alle n und [mm] X=\liminf_{n\to\infty} X_n, [/mm] so gilt [mm] E(X)\leq \liminf_{n\to\infty} E(X_n)
[/mm]
Hinweis:
[mm] Y_n=\inf_{k\geq n} X_k [/mm] ist Zufallsvariable und [mm] Y_n\uparrow [/mm] X. |
Also meine Idee ist bisher Folgendes.
[mm] E(X)=\lim_{n\to\infty}E(Y_n)=\lim_{n\to\infty} E(\inf_{k\geq n} X_k)\leq \lim_{n\to\infty} E(X_n)=\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n}E(X_k)\right)=\liminf_{n\to\infty} E(X_n)
[/mm]
Weiter komm ich aber nicht bzw. ich hab keine Ahnung, ob das stimmt.
Kann mir bitte jemand helfen?
|
|
| |
|
Huhu,
deine Aussage ist doch nichts anderes, als das ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Fatou.
Das findest du in jedem Fachbuch zur Maßtheorie oder Stochastik.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Fr 24.06.2011 | | Autor: | mikexx |
Ja, das stimmt.
Aber wie bringt man das jetzt in Zusammenhang mit Erwartungswerten?
Soll ich den Erwartungswert von X als Integral schreiben oder wie?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:16 Fr 24.06.2011 | | Autor: | mikexx |
Also, es läuft bei (1) wohl auf Folgendes heraus:
Weil die Folge [mm] (Y_n) [/mm] der Infima eine monoton steigende Folge ist und [mm] Y_n\uparrow [/mm] X, kann man das mit dem Satz über monotone Konvergenz zeigen bzw. diesen anwenden:
[mm] E(X)=\int \liminf_{n\to\infty} X_n=\int \lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n}X_k=\lim_{n\to\infty}\int \inf_{k\geq n}X_k\leq \lim_{n\to\infty}\inf_{k\geq n}\int X_k=\liminf_{n\to\infty}E(X_n)
[/mm]
Ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 26.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 So 26.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
