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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | Sei E = [mm] K(\alpha [/mm] , [mm] \beta) [/mm] Erweiterungskörper von K mit [mm] [K(\alpha) [/mm] : K] = p und [mm] [K(\beta) [/mm] : K] = q mit verschiedenen Primzahlen p und q.
(a) Zeigen Sie: [E : [mm] K(\beta)] [/mm] = p und [E : [mm] K(\alpha)] [/mm] = q.
(b) Sei f= [mm] Mipo_{\alpha + \beta} [/mm] über K. Zeigen Sie: Falls deg(f) [mm] \not= [/mm] pq, so ist f(X + [mm] \beta) [/mm] das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über [mm] K(\beta).
[/mm]
(c) Zeigen Sie: Falls die Charakteristik von K nicht p ist, so ist E = [mm] K(\alpha [/mm] + [mm] \beta). [/mm] (Hinweis: Aus [mm] K(\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] ) [mm] \not= [/mm] E würde folgen: deg(f) = p und f(X + [mm] \beta) \in [/mm] K[X] (Warum?). Betrachten Sie nun den Koeffizienten bei [mm] X^{p-1} [/mm] in f(X + [mm] \beta). [/mm] |
Hallihallo!
Also Aufgabenteil (a) hab ich mit Hilfe der Gradformel gelöst, das war soweit kein Problem. Nun meine Fragen zur (b):
Betrachtet man das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta. [/mm] Dann hat dieses Mipo als Nst. [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] (welches ja wieder algebraisch ist). Nun soll gelten: deg(f) [mm] \not= [/mm] pq. Aber was sagt mir das?? Ich kann leider auf gar nix schließen, vielleicht kann mir da jemand einen Ansatz liefern oder ein paar Tipps geben??
Bei der (c) weiß ich auch eigentlich gar nicht, was ich machen soll. Was bedeutet denn Charakteristik von K? Das ist ja irgendeine Anzahl von Elementen, aber ich weiß leider nicht so genau, wie ich mir das bei einem Körper vorstellen soll....
Vielleicht auch hier ein paar Tipps??
Ich danke euch schonmal für eure Hilfe!!
Lg Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 20.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Kiki!
> Sei E = [mm]K(\alpha[/mm] , [mm]\beta)[/mm] Erweiterungskörper von K mit
> [mm][K(\alpha)[/mm] : K] = p und [mm][K(\beta)[/mm] : K] = q mit
> verschiedenen Primzahlen p und q.
>
> (a) Zeigen Sie: [E : [mm]K(\beta)][/mm] = p und [E : [mm]K(\alpha)][/mm] =
> q.
>
> (b) Sei f= [mm]Mipo_{\alpha + \beta}[/mm] über K. Zeigen Sie: Falls
> deg(f) [mm]\not=[/mm] pq, so ist f(X + [mm]\beta)[/mm] das Minimalpolynom von
> [mm]\alpha[/mm] über [mm]K(\beta).[/mm]
>
> (c) Zeigen Sie: Falls die Charakteristik von K nicht p ist,
> so ist E = [mm]K(\alpha[/mm] + [mm]\beta).[/mm] (Hinweis: Aus [mm]K(\alpha[/mm] +
> [mm]\beta[/mm] ) [mm]\not=[/mm] E würde folgen: deg(f) = p und f(X + [mm]\beta) \in[/mm]
> K[X] (Warum?). Betrachten Sie nun den Koeffizienten bei
> [mm]X^{p-1}[/mm] in f(X + [mm]\beta).[/mm]
>
> Hallihallo!
>
> Also Aufgabenteil (a) hab ich mit Hilfe der Gradformel
> gelöst, das war soweit kein Problem. Nun meine Fragen zur
> (b):
>
> Betrachtet man das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta.[/mm] Dann
> hat dieses Mipo als Nst. [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] (welches ja wieder
> algebraisch ist). Nun soll gelten: deg(f) [mm]\not=[/mm] pq. Aber
> was sagt mir das?? Ich kann leider auf gar nix schließen,
> vielleicht kann mir da jemand einen Ansatz liefern oder ein
> paar Tipps geben??
Also bei der (b) stimmt irgendetwas nicht.
Schau dir den Koerperturm $K [mm] \subseteq K(\alpha [/mm] + [mm] \beta) \subseteq K(\alpha, \beta)$ [/mm] an. Nun ist [mm] $\deg [/mm] f = [mm] [K(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] : K]$ und ist nach der Gradformel ein Teiler von $[K : [mm] K(\alpha, \beta)] [/mm] = p q$. Wenn also [mm] $\deg [/mm] f < p q$ ist, so muss [mm] $\deg [/mm] f = p$ oder [mm] $\deg [/mm] f = q$ sein. (Ist dir klar, warum nicht [mm] $\deg [/mm] f = 1$ sein kann?)
Offensichtlich liegt $g(X) := f(X + [mm] \beta) \in K(\beta)[X]$ [/mm] und erfuellt [mm] $\deg [/mm] g = [mm] \deg [/mm] f$ und [mm] $g(\alpha) [/mm] = 0$. Aber wenn nun $g$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $K(\beta)$ [/mm] waere, dann waer [mm] $\deg [/mm] f = [mm] \deg [/mm] g = p$.
Man kann nun aber genauso argumentieren, wenn man [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] vertauscht, und bekommt analog [mm] $\deg [/mm] f = [mm] \deg [/mm] h = q$ fuer $h := f(X + [mm] \alpha) \in K(\alpha)[X]$.
[/mm]
Da aber $p [mm] \neq [/mm] q$ ist, gibt dies einen Widerspruch...
Irgendetwas stimmt da also nicht.
> Bei der (c) weiß ich auch eigentlich gar nicht, was ich
> machen soll. Was bedeutet denn Charakteristik von K? Das
> ist ja irgendeine Anzahl von Elementen, aber ich weiß
> leider nicht so genau, wie ich mir das bei einem Körper
> vorstellen soll....
Die Charakteristik von $K$ ist die kleinste Zahl $n > 0$, fuer die [mm] $\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n\text{ mal}} [/mm] = 0$ ist, oder halt 0 wenn dies nie der Fall ist.
Ist die Charakteristik 0, so ist [mm] $\IQ$ [/mm] als Unterkoerper in $K$ enthalten (bzw. praeziser: $K$ hat einen Unterkoerper isomorph zu [mm] $\IQ$). [/mm] Ist die Charakteristik von $K$ eine Zahl $n > 0$, so muss $n$ prim sein und [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ist ein Unterkoerper von $K$ (bzw. isomorph dazu, wenn man es genau haben moechte).
Was du hier brauchst: wenn die Charakteristik nicht $p$ ist, dann ist [mm] $\binom{p}{k} \neq [/mm] 0 [mm] \in [/mm] K$ fuer alle $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] p$. Wenn die Charakteristik $p$ waere, dann waer naemlich [mm] $\binom{p}{k} [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] K$ fuer $0 < k < p$.
Zum Hinweis bei (c) bringt dir das folgendes: berechnte doch einfach mal den Koeffizient von [mm] $X^{p-1}$ [/mm] in $g(X) = f(X + [mm] \beta)$. [/mm] Dann siehst du schon, warum du [mm] $\binom{p}{p - 1} [/mm] = [mm] \binom{p}{1} \neq [/mm] 0 [mm] \in [/mm] K$ brauchst.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 20.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich denke ich hab's:
> Sei E = [mm]K(\alpha[/mm] , [mm]\beta)[/mm] Erweiterungskörper von K mit
> [mm][K(\alpha)[/mm] : K] = p und [mm][K(\beta)[/mm] : K] = q mit
> verschiedenen Primzahlen p und q.
>
> (a) Zeigen Sie: [E : [mm]K(\beta)][/mm] = p und [E : [mm]K(\alpha)][/mm] =
> q.
>
> (b) Sei f= [mm]Mipo_{\alpha + \beta}[/mm] über K. Zeigen Sie: Falls
> deg(f) [mm]\not=[/mm] pq, so ist f(X + [mm]\beta)[/mm] das Minimalpolynom von
> [mm]\alpha[/mm] über [mm]K(\beta).[/mm]
Hier (bzw. schon am Anfang der AUfgabe) muss gefordert werden, dass $p > q$ ist. Dann gilt das naemlich (du weisst, dass das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $K(\beta)$ [/mm] wegen (a) den Grad $p$ hat, und $f(X + [mm] \beta)$ [/mm] hat Grad [mm] $\le [/mm] p$.)
LG Felix
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