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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mo 10.12.2007 | | Autor: | easy2311 |
| Aufgabe | | Entscheiden Sie ob die Vektoren (1/2/3), (3/2/1) , (3/2/1) ein Erzeugendensystem des R³ bilden. |
Hallo, ich habe bereits herausgefunden dass die 3 vektoren linear abhängig sind, nämlich:
x(1/2/3)+x(3/2/1)-4x(3/2/1)=0
Nun stellt sich die Frage ob diese 3 Vektoren ein EZS des R³ bilden. Es lässt sich ja keiner der 3 vektoren als linearkombination des anderen darstellen, und wenn es ein EZS bildet, ist es dann eins des R³ oder des R²?
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> Entscheiden Sie ob die Vektoren (1/2/3), (3/2/1) , (3/2/1)
> ein Erzeugendensystem des R³ bilden.
> Hallo, ich habe bereits herausgefunden dass die 3 vektoren
> linear abhängig sind, nämlich:
> x(1/2/3)+x(3/2/1)-4x(3/2/1)=0
Hallo,
zum einen erkennt man ohne hinzugucken die lineare Abhängigkeit, es sind ja zwei der Vektoren gleich.
Allerdings kann ich mir hierauf
> x(1/2/3)+x(3/2/1)-4x(3/2/1)=0
überhaupt keinen Reim machen.
Du müßtest da schon was Konkretes angeben und nicht solch einen ominösen Mr.X.
> Nun stellt sich die Frage ob diese 3 Vektoren ein EZS des
> R³ bilden. Es lässt sich ja keiner der 3 vektoren als
> linearkombination des anderen darstellen, und wenn es ein
> EZS bildet, ist es dann eins des R³ oder des R²?
Wenn drei Dir vorliegende Vektoren linear abhängig sind, können sie kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sein, denn der [mm] \IR^3 [/mm] hat die Dimension 3, was bedeutet, daß jede Basis, also jedes minimale Erzeugendensystem, drei Elemente enthält.
Den [mm] \IR^2 [/mm] können Deine Vektoren schon gar nicht aufspannen, denn der [mm] \IR^2 [/mm] enthält Spaltenvektoren mit nur 2 Komponenten.
Wenn v. Deinen 3 Vektoren max. 2 linear unabhängig sind, spannen sie einen zweidimensionalen Unterrraum des [mm] \IR^3 [/mm] auf, also eine Ebene durch den Ursprung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mo 10.12.2007 | | Autor: | easy2311 |
Mist, ich hab den 3. Vektor falsch angegeben, der war nämlich (1/1/1). Also ich hab rausgefunden, dass
x(123)+x(321)-4x(111) ja linear abhängig.
So, nun stell ich noch mal die gleiche Frage. Ezs des R³ oder des R² oder gar keins?
Entschuldigung vielmals!
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> Mist, ich hab den 3. Vektor falsch angegeben, der war
> nämlich (1/1/1). Also ich hab rausgefunden, dass
> x(123)+x(321)-4x(111)
Hallo,
dieselbe Kritik: was soll
x(123)+x(321)-4x(111)=0 bedeuten?
Du müßtest wenn schon schreiben "für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt:",
aber besser sit es doch, Du sagst, es ist
(123)+(321)-4(111)=0, und daher sind die nicht linear unabhängig.
> So, nun stell ich noch mal die gleiche Frage. Ezs des R³
Wie schon erklärt: nein.
> oder des R²
Aus den bereits angeführten Gründen: nein.
>oder gar keins?
Doch, es ist ein Erzeugendensystem v. Span((123), (321), (111)) bzw. <(123), (321), (111)> (je nach Eurer Schreibweise), und da man sieht, daß je zwei Deiner Vektoren linear unabhängig sind, ist die Dimension dieses v. ihnen aufgespannten Raumes =2.
Gruß v. Angela
> Entschuldigung vielmals!
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