Erzeugendensystem < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
Ich habe ein Verständnis Problem mit folgender Aufgabe: Untersuchen Sie im Vektorraum aller Polynome vom Grad =< 3
a) E1: {1-x, x²-1, [mm] x^3} [/mm] ist es ein Erzeugendensystem des R² ?
b) Untersuche ob die Darstellung eines Vektors eindeutig ist.
c) Ist das Erzeugendensystem linear unabhängig?
Nun ich kann mit E1: {1-x, x²-1, [mm] x^3} [/mm] leider nichts anfangen o.O und ich hab auch keine ahnung was ich genau machen soll....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Gib die Aufgabenstellung bitte genau wider.
Sieht die Menge E1 wirklich so aus ?
Was hat der R² hier zu suchen ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
ok ganz genau: Nr. 5 Untersuchen Sie im Vektorraum aller Polynome vom Grad <= 3 die Fragen aus 4(a) bis 4(c) analog für die Erzeugendensysteme
(a) E1: {1-x, x²-1, x³}
(b) E2: {1, 2x-1, x²+x, x³}
(c) E3: {2+x³, 1+x, 1, 1+x²+x³, 1+x+x²}
Nr4. (Siehe oben 4(a) bis 4(c):
Eine Menge von (nicht unbedingt linear unabhängigen) Vektoren, die einen Vektorraum erzeugt, heißt ein Erzeugendensystem des Vektorraums. Zeigen Sie am Beispiel des R²:
(a) { [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}} [/mm] ist ein Erzeugendensystem des R², d.h jeder Vektor [mm] \vektor{a1 \\ a2} [/mm] des R² kann als Linearkombination dieser 3 Vektoren dargestellt werden.
(b) Untersuchen Sie, ob die Darstellung eines Vektors eindeutig ist.
(c) Ist das Erzeugendensystem linear unabhängig?
So nun die Nr.4 hab ich bereits gelöst gehabt... ich kann bei Nr.5 allerings nichts mit E1 - E3 anfangen... Was soll ich damit machen o.O????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Welche Dimension hat denn der Vektorraum aller Polynome vom Grad <= 3 ?
Mit der Antwort hat sich die Frage bei E1 schon erledigt, wenn Du weißt, was "Erzeugendensystem " bedeutet. Weißt Du das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
Ich weiß nicht mehr als ich oben geschrieben habe ;) kann natürlich sein das ich es nicht wirklich weiß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Was habt Ihr denn gelernt über Vektorräume, Basen Erzeugendensysteme, ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
Ich hab gelernt was ein Basisvektor ist und die Dimensionen eines Vektorraums. Über Erzeugendensystem eines Vektorraums weiß ich nicht mehr als oben bei der Definition steht. Ich weiß was linear abhängig und unabhängig ist, komplanar und kollinear.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mi 25.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
Vorschlag: Nimm Dir allgemein ein Polynom dritten Grades her, also
a [mm] x^{3} [/mm] + b [mm] x^{2} [/mm] + c x + d
und versuche dieses als Linearkombination der Elemente des Erzeugendensystems darzustellen.
Die anderen Fragen sollten sich auch damit erledigen.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
;) wenn du mir nun noch verräts wie das geht bin ich glücklich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo diab!
Multipliziere folgenden Term aus und vergleich mit dem allgemeinen Polynom 3. Ordnung:
[mm] $$A*(1-x)+B*\left(1+x^2\right)+C*x^3$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
Also: Cx³+Bx²-Ax+A+B nun hier ist hinten A+B anstelle von d und die koeffizenten sind anders verteilt und ja ^^
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> Also: Cx³+Bx²-Ax+A+B nun hier ist hinten A+B anstelle von d
> und die koeffizenten sind anders verteilt und ja ^^
Hallo,
nun schaust Du nach, ob Du für beliebige a,b,c,d die A, B, C so wählen kannst, daß
Cx³+Bx²-Ax+A+B=ax³+bx²+cx +d ergibt.
Wenn dies der Fall ist, ist die gegebene Menge ein Erzeugendensystem des [mm] \IR_{\le3}[x].
[/mm]
Allerdings: wenn Du gut aufgepaßt hast, wirst Du die Dimension des vektorraumes der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Höchstgrad 3 bereits kennen.
Und wenn Du die Dimension kennst, weißt Du, wieviel Elemente ein Erzeugendensystem des Raumes mindestens enthalten muß, denn eine Basis ist ja ein minimales Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 25.06.2008 | | Autor: | diab1991 |
Ich bin ehrlich gesagt ein wenig verwirrt gerade o.O wie stell ich denn z.B E1 als Vektor dar?
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> Ich bin ehrlich gesagt ein wenig verwirrt gerade o.O wie
> stell ich denn z.B E1 als Vektor dar?
Hallo,
jetzt verwirrst Du mich!
[mm] E_1 [/mm] ist doch eine Menge von Vektoren, da sind die Vektoren 1-x, x²-1und $ [mm] x^3 [/mm] $ drin.
Ich weiß jetzt echt nicht, was Du mit [mm] "E_1 [/mm] als Vektor darstellen" meinst.
Was hast Du denn inzwischen mit den Dir gegebenen Hinweisen zu Aufgabe a) gemacht? Ist das jetzt ein Erzeugendensystem des Vektorraumes der reellen Polynom vom Höchstgrad 3 oder nicht?
Gruß v. Angela
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