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| Aufgabe | Welche der folgenden n-tupel von Paaren rationaler Zahlen sind Erzeugendensystme des V.R. [mm] Q^2?
[/mm]
((0,3),(-1,1),(4,2))... |
Hallo!
Verwenden darf ich dabei nur die Definition von Erzeugendensystem.
[mm] a,b\in [/mm] Q
[mm]\vektor{a\\b}=\frac{a+b}{3}\vektor{0\\3}-a\vektor{-1\\1}+0*\vektor{4\\2}[/mm]
So habe ich ja schon gezeigt, dass man jeden beliebigen Vektor in [mm] Q^2, [/mm] mit beliebigen Komponenten a,b ,auf mindestens eine Weise durch diese drei Vektoren erzeugen kann. Stimmt das bzw. gibt es noch einen anderen/leichteren Weg?
Und noch was möchte ich fragen, weil ich immer skeptisch bin ob ich den einfachsten Weg verwende: Wie kann man sagen, dass 3 Vektoren linear unabhängig sind, ohne ein Gleichungssystem zu lösen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Angelika
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> Welche der folgenden n-tupel von Paaren rationaler Zahlen
> sind Erzeugendensystme des V.R. [mm]Q^2?[/mm]
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> ((0,3),(-1,1),(4,2))...
> Hallo!
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> Verwenden darf ich dabei nur die Definition von
> Erzeugendensystem.
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> [mm]a,b\in[/mm] Q
>
> [mm]\vektor{a\\b}=\frac{a+b}{3}\vektor{0\\3}-a\vektor{-1\\1}+0*\vektor{4\\2}[/mm]
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> So habe ich ja schon gezeigt, dass man jeden beliebigen
> Vektor in [mm]Q^2,[/mm] mit beliebigen Komponenten a,b ,auf
> mindestens eine Weise durch diese drei Vektoren erzeugen
> kann. Stimmt das
Hallo,
ja, das ist richtig.
> bzw. gibt es noch einen anderen/leichteren
> Weg?
Manchmal, so auch hier, sieht man in der Menge sofort eine Basis des fraglichen Raumes, womit klar ist, daß es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Je nachdem, was Du kannst, kannst Du die Dimension des von den Vektoren aufgespannten Raumes auch am Rang der Matrix, die die Vektoren als Spalten enthält, ablesen.
In Deinem Fall wäre der Rang =2, [mm] \IQ^2 [/mm] hat die Dimension 2, also erezugt das system en Raum.
> Und noch was möchte ich fragen, weil ich immer skeptisch
> bin ob ich den einfachsten Weg verwende: Wie kann man
> sagen, dass 3 Vektoren linear unabhängig sind, ohne ein
> Gleichungssystem zu lösen?
Normalerweise mußt Du ein GS lösen. "Einfach so" sehen tut man das nur in speziellen Fallen, wie z.B. [mm] \vektor{ 1\\2\\3}, \vektor{5\\6\\0}, \vektor{7\\0\\0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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