Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Do 20.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich hab da mal ne Frage... wenn ich zeigen muss, dass etwas ein Erzeugendensystem ist, was muss ich da eigentlich konkret machen?
Lg
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Do 20.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> Hallo,
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> ich hab da mal ne Frage... wenn ich zeigen muss, dass etwas
> ein Erzeugendensystem ist, was muss ich da eigentlich
> konkret machen?
Wenn du einen K-Vektorraum und eine Familie [mm] B=(v_{i})_{i\in I} [/mm] von Vektoren aus V (I ist eine Indexmenge), dann ist B ein Erzeugendensystem von V, wenn die lineare Hülle oder das Erzeugnis von B gleich V ist.
Also du musst zeigen, dass der (Unter-)Vektorraum, der von den Vektoren der Familie B aufgespannt wird V selbst ist.
In den meisten Fällen geht das am einfachsten, wenn du zeigst, dass B eine Basis von V ist oder eine Basis von V enthält. Das heißt du untersuchst die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit (am besten mit Gaußalgorithmus) und wenn du eine linear unabhängige Teilfamilie von B gefunden hast, die die Dimension von V hat, hast du eine Basis und damit ein Erzeugendensystem.
Wenn das zu aufwendig oder zu kompliziert oder gar nicht möglich ist, dann musst du zeigen, dass für alle Vektoren aus V auch eine Linearkombination aus Vektoren aus B existiert.
Das ist besonders gut, wenn du schon eine Basis oder ein Erzeugendensystem von V gegeben hast oder ein solches leicht ersichtlich ist (z.B. kanonische Basis im [mm] \IR^{n}). [/mm] Denn dann kannst du einfach Versuchen die Vektoren der Basis aus den Vektoren aus B linearzukombinieren. Dann hast du's auch.
Nun ja. Ich hoffe das war überhaupt konkret genug und nicht nur theoretisch...
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> Lg
> Kerstin
Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Do 20.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Nein, das war "überhaupt" nicht "konkret genug"... das war Perfekt! =) Danke dir, deine Antwort hat mir gerade bei einer Aufgabe extrem weitergeholfen und ich weiß jetzt überhaupt mal wie man an sowas rangeht.
Lg
Kerstin
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