Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Sei M die Menge der folgenden Vektoren aus [mm]\IQ^3[/mm]
[mm] v_1= \pmat{ 1 \\
2 \\
0} [/mm], [mm] v_2= \pmat{ 0 \\
1 \\
3} [/mm], [mm] v_3= \pmat{ 1 \\
0 \\
0} [/mm] und [mm] v_4= \pmat{ 2 \\
5 \\
1 } [/mm][mm] .\\
[/mm]
a) Zeige: M ist ein Erzeugendensystem von [mm]\IQ^3[/mm].
b) Zeige: M ist eine linear abhängige Teilmenge von [mm]\IQ^3[/mm].
c) Gib eine 3-elementige Teilmenge von M an, die linear unabhängig ist. |
Hallo,
wenn ich in Aufgabenteil c) 3 linear unabhängige Vektoren finde ( die ersten drei sind l.u) und somit eine 3-elementige Teilmenge gefunden habe, kann ich a) und b) damit beantworten. In [mm]\IQ^3[/mm] gibt es maximal 3 l.u. Vektoren, wenn ich einen Vektor hinzunehme, erhalte ich eine l.a. Teilmenge des [mm]\IQ^3[/mm] und diese ist ein Erzeugendensystem.
Aber so einfach kann es doch nicht sein, oder?
Gruß, Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 26.10.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei M die Menge der folgenden Vektoren aus [mm]\IQ^3[/mm]
> [mm]v_1= \pmat{ 1 \\
2 \\
0} [/mm], [mm]v_2= \pmat{ 0 \\
1 \\
3} [/mm],
> [mm]v_3= \pmat{ 1 \\
0 \\
0}[/mm] und [mm]v_4= \pmat{ 2 \\
5 \\
1 }[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> a) Zeige: M ist ein Erzeugendensystem von [mm]\IQ^3[/mm].
> b) Zeige: M ist eine linear abhängige Teilmenge von
> [mm]\IQ^3[/mm].
> c) Gib eine 3-elementige Teilmenge von M an, die linear
> unabhängig ist.
> wenn ich in Aufgabenteil c) 3 linear unabhängige Vektoren
> finde ( die ersten drei sind l.u) und somit eine
> 3-elementige Teilmenge gefunden habe, kann ich a) und b)
> damit beantworten. In [mm]\IQ^3[/mm] gibt es maximal 3 l.u.
> Vektoren, wenn ich einen Vektor hinzunehme, erhalte ich
> eine l.a. Teilmenge des [mm]\IQ^3[/mm] und diese ist ein
> Erzeugendensystem.
>
> Aber so einfach kann es doch nicht sein, oder?
Ist es aber! Du könntest deine Argumentation noch dadurch verbessern, daß du immer den zugehörigen Satz anführst. [mm] $\IQ^3$ [/mm] hat Dimension 3, also sind 3 lin. unabh. Vektoren eine Basis, also auch ein Erz.-system, und jede Obermenge eines Erz.-systems ist wieder ein Erz.-system. 4 beliebige Vektoren sind immer linear abhängig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Gruß, Palonina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Palonina |
Moin und danke für die schnelle Antwort.
Dieser Lösungsweg ist mir auch der liebste.
Wenn ich die Aufgaben doch in der vorgesehenen Reihenfolge lösen möchte, wie zeige ich, dass gegebene Vektoren ein Erzeugendensystem sind?
Ich weiß, dass dann jeder Vektor aus [mm] $\IQ^3$ [/mm] als Linearkombination dieser Vektoren gebildet werden kann.
$ [mm] q\vektor{1\\2\\0}+r\vektor{0\\1\\3}+s \vektor{1\\0\\0}+t\vektor{2\\5\\1} =\vektor{x\\y\\z} [/mm] $
Daraus erhalte ich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten. Drücke ich die Parameter durch x, y und z aus, wobei ich einen frei wähle?
Ich habe hier im Forum gelesen, dass man die Vektoren auch als Matrix zusammenfassen kann (jeweils als Zeilen), diese dann in ZSF bringt und schaut, wie viele von 0 verschieden Zeilen man erhält. (Als Erzeugendensystem des [mm] $\IQ^3 [/mm] benötige ich drei)$
In seinem Buch verweist unser Prof in dem Zusammenhang aber auf ein Beispiel, in dem er mit den Vektoren als Spalten eine Matrix erstellt und diese in ZSF bringt. Das verwirrt mich etwas.
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Hallo Palonina,
> Wenn ich die Aufgaben doch in der vorgesehenen Reihenfolge
> lösen möchte, wie zeige ich, dass gegebene Vektoren ein
> Erzeugendensystem sind?
> Ich weiß, dass dann jeder Vektor aus [mm]\IQ^3[/mm] als
> Linearkombination dieser Vektoren gebildet werden kann.
>
> [mm]q\vektor{1\\
2\\
0}+r\vektor{0\\
1\\
3}+s \vektor{1\\
0\\
0}+t\vektor{2\\
5\\
1} =\vektor{x\\
y\\
z}[/mm]
>
> Daraus erhalte ich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen
> und 4 Unbekannten. Drücke ich die Parameter durch x, y und
> z aus, wobei ich einen frei wähle?
Ja, genau.
> Ich habe hier im Forum gelesen, dass man die Vektoren auch
> als Matrix zusammenfassen kann (jeweils als Zeilen), diese
> dann in ZSF bringt und schaut, wie viele von 0 verschieden
> Zeilen man erhält. (Als Erzeugendensystem des [mm]\IQ^3 benötige ich drei)[/mm]
So ist es. Der Rang der Matrix muss gleich der Dimension des Vektorraums sein.
> In seinem Buch verweist unser Prof in dem Zusammenhang aber
> auf ein Beispiel, in dem er mit den Vektoren als Spalten
> eine Matrix erstellt und diese in ZSF bringt. Das verwirrt
> mich etwas.
Das ist für den Rang doch egal, ob die Vektoren nun die Spalten oder die Zeilen bilden.
Grüße
reverend
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