Erzeugendensystem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 So 28.08.2005 | | Autor: | HWK |
Hallo,
Ich weiß zwar, was ein Erzeugendensytem ist (Theorie), weiß aber nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Aufgabe:
Bilden die Vektoren v1=(2,4,6), v2=(4,-6,2), v3=(6,2,-2) ein erzeugendensystem des R³?
Ich bitte um Begründung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe auf schnelle Beantwortung, da ich morgen eine Klausur in Lineare Algebra schreibe.
Gruß
HWK
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Hallo HWK,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe:
> Bilden die Vektoren v1=(2,4,6), v2=(4,-6,2), v3=(6,2,-2)
> ein erzeugendensystem des R³?
>
Ja, da alle Vektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] mit Hilfe dieser Vektoren v1, v2, v3 dargestellt werden können.
Die Vektoren v1, v2 und v3 bilden eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 So 28.08.2005 | | Autor: | HWK |
Hallo,
vielen Dank, jedoch bräuchte ich einen rechnerischen Lösungsweg/Begründung.
Vorab schon vielen Dank
HWK
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Bonsoir!
Du hast n Vektoren gegeben und willst prüfen, ob sie ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{n} [/mm] bilden:
Die n Vektoren sind linear unabhängig. [mm] \gdw [/mm] Die n Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{n} [/mm] (= eine n-dimensionale Basis im [mm] \IR^{n}).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es bleibt zu prüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind.
Die Vektoren [mm] v_{1}, \ldots, v_{n} [/mm] sind linear unabhängig. [mm] \gdw [/mm] Die Determinante der n x n Matrix mit den Spaltenvektoren [mm] v_{1}, \ldots, v_{n} [/mm] ist ungleich 0.
Das wäre z. B. eine Möglichkeit gewesen, die von dir gegebene Fragestellung zu beantworten.
Au revoir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 29.08.2005 | | Autor: | HWK |
Hi,
Vielen Dank, meine Frage war aber eigentlich, ob man die oben gestellte Aufgabe rechnerisch (Lösungsweg) lösen kann?
Grüße aus Bayern
HWK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo HWK,
> Vielen Dank, meine Frage war aber eigentlich, ob man die
> oben gestellte Aufgabe rechnerisch (Lösungsweg) lösen
> kann?
Ja, klar, und wie das geht, hat jeu_blanc auch angedeutet, mit Determinanten. Falls Ihr noch keine Determinaten hattet, musst du so vorgehen:
Falls die drei Vektoren ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^3$ [/mm] sind, läßt sich jeder Vektor aus [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] als Linearkombination der drei Vektoren schreiben:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\lambda_1*\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2*\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3*\vektor{6\\ 2\\-2 }$
[/mm]
Die Frage ist also: Kannst du für jede Wahl von [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] drei Skalare [mm] $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ [/mm] finden, so dass die obige Gleichheit gilt?
Nun müsste es doch in deinem Skript einen Satz geben, der aussagt, dass dieses genau dann der Fall ist, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind (ich bin gerade etwas verwirrt, weil du doch bereits im Hauptstudium bist und ich vielleicht deine Frage gar nicht richtig verstehe.)
Die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren weist (alternativ zu dem Determinantenverfahren von jeu_blanc) du so nach, indem du das lineare Gleichungssystem
[mm] $\vektor{0\\0\\0}=\lambda_1*\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2*\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3*\vektor{6\\ 2\\-2 }$
[/mm]
löst und dabei feststellst, dass es als einzige Lösung [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ [/mm] hat.
Falls dies der Fall ist, kann jeder Vektor aus [mm] $\IR^3$ [/mm] als Linearkombination der drei Vektoren dargestellt werden, und man sagt dann, dass die drei Vektoren ein Erzeugendensystem bilden.
Dieses Erzeugendensystem wäre dann auch gleichzeitig eine Basis, denn es ist minimal (es kann auf keinen Vektor verzichtet werden, um jeden Vektor aus [mm] $\IR$ [/mm] linear kombinieren zu können).
Viele Grüße,
Marc
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$ [mm] \vektor{0\\0\\0}=\lambda_1\cdot{}\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 } [/mm] $
kann mir das eventuell schnell mal jemand schriftlich darlegen?
ich bekomme alles durch die bank weg raus für die lambdas.
vielen dank im voraus.
lg rolf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\vektor{0\\0\\0}=\lambda_1\cdot{}\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 }[/mm]
>
>
> kann mir das eventuell schnell mal jemand schriftlich
> darlegen?
> ich bekomme alles durch die bank weg raus für die
> lambdas.
Was bekommst Du raus ? Zeig Deine Rechnungen !
FRED
>
> vielen dank im voraus.
>
> lg rolf
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statt der lambdas habe ich alpha 1-3 benutzt, das sollte allerdings irrelevant sein.
schon leicht zusammengefasst schaut es so aus:
2α1+4α2+6α3=0
4α1-6α2+2α3=0
6α1+2α2-2α3=0
ausgangspunkt ist die zweite zeile. diese habe ich nach α3 umgestellt, sodass
α3=3α2-2α1 entsteht.
das wiederum habe ich in die erste zeile eingesetzt und nach α1 umgestellt.
α1=11/5α2
anschließend das ergebnis in die zweite eingesetzt und erhalten:
α3=7,6α2
------------
nun habe ich erneut meine erhaltenen zwischenergebnisse in das LGS eingesetzt.
somit ergab 4(11/5α2)-6α2+2(7,6α2)=0 endlich 18α2=0
ist der weg generell so beschwerlich oder habe ich mich nur sehr ungeschickt angestellt?
rolf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Do 07.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest DRINGEND lernen für lineare GS mit mehr als 2 Unbekannten das Gausssche Lösungsverfahren zu benutzen
Hier wird es erklärt und du hast gleich mit dem rechner eine Kontrolle.
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Do 07.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Mal ne doofe Frage: Wieso macht ihr das alles immer so kompliziert? Das versteht doch kaum einer.
M.E. läuft das doch darauf hinaus, dass man 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten hat.
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sind im allgemeinen eindeutig lösbar.
Also löst man erst einmal 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Und diese Lösung setzt man dann in die dritte Gleichung ein.
Wenn es (zufällig) aufgeht, dann sind die drei Vektoren voneinander abhängig. Sie liegen in einer Ebene.
Wenn die Lösung nicht in die dritte Gleichung passt, dann sind die Vektoren unabhängig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Mal ne doofe Frage: Wieso macht ihr das alles immer so
> kompliziert? Das versteht doch kaum einer.
>
> M.E. läuft das doch darauf hinaus, dass man 3 Gleichungen
> mit 2 Unbekannten hat.
Du irrst. Oben haben wir 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
>
> 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sind im allgemeinen
> eindeutig lösbar.
Tatsächlich ? wenn Du sagst, was Du mit "im allgemeinen " meinst, diskutiere ich eventuel mit Dir.
FRED
> Also löst man erst einmal 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
>
> Und diese Lösung setzt man dann in die dritte Gleichung
> ein.
> Wenn es (zufällig) aufgeht, dann sind die drei Vektoren
> voneinander abhängig. Sie liegen in einer Ebene.
>
> Wenn die Lösung nicht in die dritte Gleichung passt, dann
> sind die Vektoren unabhängig.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 07.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> > M.E. läuft das doch darauf hinaus, dass man 3 Gleichungen
> > mit 2 Unbekannten hat.
>
> Du irrst. Oben haben wir 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Eine der Unbekannten kann man aber willkürlich fest-tackern. Sprich: man legt z.B. einfach fest, dass a=1 ist. Dann sind es nur noch 2 Unbekannte.
> > 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sind im allgemeinen eindeutig lösbar.
>
> Tatsächlich ? Wenn Du sagst, was Du mit "im allgemeinen "
> meinst, diskutiere ich eventuel mit Dir.
a + b = 7
2a+ 3b = 28
Ich habe mir dieses Gleichungssystem ausgedacht, und ich bin mir sicher, dass es da eine eindeutige Lösung für a und b gibt. Wie die aussieht, habe ich jetzt nicht ausgerechnet.
a + b = 7
2a + 2b = 77
Im allgemeinen gibt es für 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten eine Lösung. Aber in diesem Fall wohl nicht, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 07.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
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> > > M.E. läuft das doch darauf hinaus, dass man 3 Gleichungen
> > > mit 2 Unbekannten hat.
> >
> > Du irrst. Oben haben wir 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
>
> Eine der Unbekannten kann man aber willkürlich
> fest-tackern. Sprich: man legt z.B. einfach fest, dass a=1
> ist. Dann sind es nur noch 2 Unbekannte.
>
>
>
> > > 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sind im allgemeinen
> eindeutig lösbar.
> >
> > Tatsächlich ? Wenn Du sagst, was Du mit "im allgemeinen "
> > meinst, diskutiere ich eventuel mit Dir.
>
>
> a + b = 7
> 2a+ 3b = 28
> Ich habe mir dieses Gleichungssystem ausgedacht, und ich
> bin mir sicher, dass es da eine eindeutige Lösung für a
> und b gibt. Wie die aussieht, habe ich jetzt nicht
> ausgerechnet.
>
>
>
> a + b = 7
> 2a + 2b = 77
> Im allgemeinen gibt es für 2 Gleichungen mit 2
> Unbekannten eine Lösung. Aber in diesem Fall wohl nicht,
> oder?
Das ist doch totaler Blödsinn ! ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten muss keine eindeutige Lösungen haben... für ein lineares Gleichungssystem könntest du genauso keine oder etwa unendliche viele Lösungen kriegen...
ein kleines Bsp:
I:10a+4b=2
II:5a+2b=1
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
>
> > > M.E. läuft das doch darauf hinaus, dass man 3 Gleichungen
> > > mit 2 Unbekannten hat.
> >
> > Du irrst. Oben haben wir 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
>
> Eine der Unbekannten kann man aber willkürlich
> fest-tackern. Sprich: man legt z.B. einfach fest, dass a=1
> ist. Dann sind es nur noch 2 Unbekannte.
Das ist völliger Unsinn. Ich denke mir mal ein LGS aus mit der eindeutigen Lösung a=7,b=-3 und c=0.
Da gibts nichts zu tackern !
FRED
>
>
>
> > > 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten sind im allgemeinen
> eindeutig lösbar.
> >
> > Tatsächlich ? Wenn Du sagst, was Du mit "im allgemeinen "
> > meinst, diskutiere ich eventuel mit Dir.
>
>
> a + b = 7
> 2a+ 3b = 28
> Ich habe mir dieses Gleichungssystem ausgedacht, und ich
> bin mir sicher, dass es da eine eindeutige Lösung für a
> und b gibt. Wie die aussieht, habe ich jetzt nicht
> ausgerechnet.
>
>
>
> a + b = 7
> 2a + 2b = 77
> Im allgemeinen gibt es für 2 Gleichungen mit 2
> Unbekannten eine Lösung. Aber in diesem Fall wohl nicht,
> oder?
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Do 07.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Das ist völliger Unsinn. Ich denke mir mal ein LGS aus mit
> der eindeutigen Lösung a=7,b=-3 und c=0.
>
> Da gibts nichts zu tackern !
>
> FRED
Das ist kein Unsinn, was ich geschrieben habe. Du hast nur nicht verstanden, was ich meinte.
Deshalb nochmal:
Du hattest zuvor 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, in der aber als Zahl nur die NULL vorkam. So ein System ist Quatsch, da alle Unbekannten gleich NULL wären.
Darum tackert man eine Unbekannte mit EINS fest. Nun hat man also nur noch 2 Unbekannte (aber 3 Gleichungen).
Eine dieser Gleichungen lässt man erstmal außen vor und löst das verbliebene Gleichungssystem: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Und die Lösung setzt man in die dritte Gleichung ein. Entweder sie stimmt dann oder sie stimmt nicht.
Falls diese dritte Gleichung stimmt, dann waren die Vektoren in einer Ebene (linear abhängig), andernfalls nicht.
Was soll denn an diesem Verfahren falsch sein? Das andere Verfahren ist sicherlich auch richtig, aber ich finde es irgendwie kompliziert, und wie man sieht, hatte der Fragesteller das ja auch nicht verstanden (jedenfalls zu Anfang nicht, sonst hätte er die Frage ja nicht gestellt)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Do 07.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Testen wir doch deine Theorie - vll siehst du ja dann selbst, dass das Unsinn ist.
Löse doch mal:
I: 2x+5y-7z= -46
II: -4x+3y+4z=3
III: 6x-y+5z=40
indem du eine Variable 'fest-tackerst'
Und du meinst nicht etwa eine Variable eliminieren , sondern dieser wirklich einen Wert zuweisen.
Los geht's !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Do 07.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Testen wir doch deine Theorie - vll siehst du ja dann
> selbst, dass das Unsinn ist.
>
> Löse doch mal:
>
> I: 2x+5y-7z= -46
> II: -4x+3y+4z=3
> III: 6x-y+5z=40
>
> indem du eine Variable 'fest-tackerst'
>
> Und du meinst nicht etwa eine Variable eliminieren ,
> sondern dieser wirklich einen Wert zuweisen.
>
>
> Los geht's !
Nein, du hast nicht richtig gelesen, was ich geschrieben habe. Die Zahlen waren alle NULL:
I: 2x+5y-7z = 0
II: -4x+3y+4z = 0
III: 6x-y+5z = 0
Und nun??
Jetzt kannst du für x eine 1 tackern.
Dann hast du :
2 + 5y - 7z = 0
-4 + 3y + 4z = 0
Du löst das System und gibst die Lösungen dann in die dritten Gleichung ein und prüfst, ob die stimmt.
Genau so meinte ich es. Der "Witz" war doch, dass in den 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten überhaupt keine Zahlen vorkamen, sondern nur die NULL.
Im Original sah das ja so aus:
> 2α1+4α2+6α3=0
> 4α1-6α2+2α3=0
> 6α1+2α2-2α3=0
> ist der weg generell so beschwerlich oder habe ich mich nur sehr ungeschickt angestellt?
Und da hatte ich dann gesagt, dass das irgendwie kompliziert gelöst wurde und deshalb so beschwerlich ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Do 07.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Testen wir doch deine Theorie - vll siehst du ja dann
> > selbst, dass das Unsinn ist.
> >
> > Löse doch mal:
> >
> > I: 2x+5y-7z= -46
> > II: -4x+3y+4z=3
> > III: 6x-y+5z=40
> >
> > indem du eine Variable 'fest-tackerst'
> >
> > Und du meinst nicht etwa eine Variable eliminieren ,
> > sondern dieser wirklich einen Wert zuweisen.
> >
> >
> > Los geht's !
>
> Nein, du hast nicht richtig gelesen, was ich geschrieben
> habe. Die Zahlen waren alle NULL:
>
> I: 2x+5y-7z = 0
> II: -4x+3y+4z = 0
> III: 6x-y+5z = 0
>
> Und nun??
>
> Jetzt kannst du für x eine 1 tackern.
>
> Dann hast du :
>
> 2 + 5y - 7z = 0
> -4 + 3y + 4z = 0
>
> Du löst das System und gibst die Lösungen dann in die
> dritten Gleichung ein und prüfst, ob die stimmt.
>
> Genau so meinte ich es. Der "Witz" war doch, dass in den 3
> Gleichungen mit 3 Unbekannten überhaupt keine Zahlen
> vorkamen, sondern nur die NULL.
>
Das ist doch totaler Blödsinn - der Blödsinn ist unabhängig von der rechten Seite ... egal welche Zahlen dort stehen ! egal ob dort 0 oder etwas [mm] \neq [/mm] 0 steht.
Du kannst nicht einfach UNBEKANNTE durch irgendwelche Zahlen ersetzen - das führt doch eine Gleichung ad absurdum wenn ich einfach irgendetwas festsetze !
Probiere es doch an dem konkreten System oben!
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Testen wir doch deine Theorie - vll siehst du ja dann
> > > selbst, dass das Unsinn ist.
> > >
> > > Löse doch mal:
> > >
> > > I: 2x+5y-7z= -46
> > > II: -4x+3y+4z=3
> > > III: 6x-y+5z=40
> > >
> > > indem du eine Variable 'fest-tackerst'
> > >
> > > Und du meinst nicht etwa eine Variable eliminieren ,
> > > sondern dieser wirklich einen Wert zuweisen.
> > >
> > >
> > > Los geht's !
> >
> > Nein, du hast nicht richtig gelesen, was ich geschrieben
> > habe. Die Zahlen waren alle NULL:
> >
> > I: 2x+5y-7z = 0
> > II: -4x+3y+4z = 0
> > III: 6x-y+5z = 0
> >
> > Und nun??
>
> >
> > Jetzt kannst du für x eine 1 tackern.
> >
> > Dann hast du :
> >
> > 2 + 5y - 7z = 0
> > -4 + 3y + 4z = 0
>
> >
> > Du löst das System und gibst die Lösungen dann in die
> > dritten Gleichung ein und prüfst, ob die stimmt.
> >
> > Genau so meinte ich es. Der "Witz" war doch, dass in den 3
> > Gleichungen mit 3 Unbekannten überhaupt keine Zahlen
> > vorkamen, sondern nur die NULL.
> >
> Das ist doch totaler Blödsinn - der Blödsinn ist
> unabhängig von der rechten Seite ... egal welche Zahlen
> dort stehen ! egal ob dort 0 oder etwas [mm]\neq[/mm] 0 steht.
>
> Du kannst nicht einfach UNBEKANNTE durch irgendwelche
> Zahlen ersetzen - das führt doch eine Gleichung ad
> absurdum wenn ich einfach irgendetwas festsetze !
>
> Probiere es doch an dem konkreten System oben!
ich glaube, wenn man das, was rabilein vielleicht meint, exakter formuliert,
will er auf redundante Gleichungen hinaus.
Wenn man z.B. ein lineares GS hat, indem die dritte Zeile eine Linearkombination
der ersten beiden ist, kann man sie weglassen, ohne die Lösungsmenge
des GS zu verändern.
Typischerweise behandelt man derartiges in der Linearen Algebra und
Operations Research.
Und wenn man nachher mehr Variablen als Gleichungen hat, dann sind
gewisse Variablen frei wählbar. (Standardmethode in der Schule, um etwa
Parameterdarstellungen zu erstellen.)
Eine *konkret mit einem Wert festzutackern* finde ich aber auch ein wenig
merkwürdig, es sei denn, man braucht nur eine Lösung des GS.
Sauber formuliert wurde das von rabilein so aber nicht, daher ist das vllt.
auch mehr ein Versuch, das Ganze sinnvoll zu interpretieren ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Do 07.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
> Hallo,
>
> > > > Testen wir doch deine Theorie - vll siehst du ja dann
> > > > selbst, dass das Unsinn ist.
> > > >
> > > > Löse doch mal:
> > > >
> > > > I: 2x+5y-7z= -46
> > > > II: -4x+3y+4z=3
> > > > III: 6x-y+5z=40
> > > >
> > > > indem du eine Variable 'fest-tackerst'
> > > >
> > > > Und du meinst nicht etwa eine Variable eliminieren ,
> > > > sondern dieser wirklich einen Wert zuweisen.
> > > >
> > > >
> > > > Los geht's !
> > >
> > > Nein, du hast nicht richtig gelesen, was ich geschrieben
> > > habe. Die Zahlen waren alle NULL:
> > >
> > > I: 2x+5y-7z = 0
> > > II: -4x+3y+4z = 0
> > > III: 6x-y+5z = 0
> > >
> > > Und nun??
> >
> > >
> > > Jetzt kannst du für x eine 1 tackern.
> > >
> > > Dann hast du :
> > >
> > > 2 + 5y - 7z = 0
> > > -4 + 3y + 4z = 0
> >
> > >
> > > Du löst das System und gibst die Lösungen dann in die
> > > dritten Gleichung ein und prüfst, ob die stimmt.
> > >
> > > Genau so meinte ich es. Der "Witz" war doch, dass in den 3
> > > Gleichungen mit 3 Unbekannten überhaupt keine Zahlen
> > > vorkamen, sondern nur die NULL.
> > >
> > Das ist doch totaler Blödsinn - der Blödsinn ist
> > unabhängig von der rechten Seite ... egal welche Zahlen
> > dort stehen ! egal ob dort 0 oder etwas [mm]\neq[/mm] 0 steht.
> >
> > Du kannst nicht einfach UNBEKANNTE durch irgendwelche
> > Zahlen ersetzen - das führt doch eine Gleichung ad
> > absurdum wenn ich einfach irgendetwas festsetze !
> >
> > Probiere es doch an dem konkreten System oben!
>
> ich glaube, wenn man das, was rabilein vielleicht meint,
> exakter formuliert,
> will er auf redundante Gleichungen hinaus.
>
> Wenn man z.B. ein lineares GS hat, indem die dritte Zeile
> eine Linearkombination
> der ersten beiden ist, kann man sie weglassen, ohne die
> Lösungsmenge
> des GS zu verändern.
Das ist natürlich richtig, aber das ist eine spezielle Art - im Allgemeinen ist das (so wie es rabilein formuliert) keine Möglichkeit ein GLS richtig zu lösen.
>
> Typischerweise behandelt man derartiges in der Linearen
> Algebra und
> Operations Research.
>
>
> Und wenn man nachher mehr Variablen als Gleichungen hat,
> dann sind
> gewisse Variablen frei wählbar. (Standardmethode in der
> Schule, um etwa
> Parameterdarstellungen zu erstellen.)
>
> Eine *konkret mit einem Wert festzutackern* finde ich aber
> auch ein wenig
> merkwürdig, es sei denn, man braucht nur eine Lösung des
> GS.
>
> Sauber formuliert wurde das von rabilein so aber nicht,
> daher ist das vllt.
> auch mehr ein Versuch, das Ganze sinnvoll zu
> interpretieren ^^
>
> Gruß,
> Marcel
Wie gesagt, es klingt so, als könnte man jedes homogene GLS (beispielsweise dritter Ordnung ) so lösen, dass man eine Variable festlegt und dann ein GLS der Ordnung zwei hat , welches man dann löst - dies ist aber i.A. falsch.
Klar, wenn Gleichungen Linearkombinationen von Gleichungen selbigen Systems sind kann man diese einfach weglassen, ohne die Lösungsmenge zu ändern - aber es wurde nie erwähnt, dass rabilein solche GLS betrachtet.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > > Testen wir doch deine Theorie - vll siehst du ja dann
> > > > > selbst, dass das Unsinn ist.
> > > > >
> > > > > Löse doch mal:
> > > > >
> > > > > I: 2x+5y-7z= -46
> > > > > II: -4x+3y+4z=3
> > > > > III: 6x-y+5z=40
> > > > >
> > > > > indem du eine Variable 'fest-tackerst'
> > > > >
> > > > > Und du meinst nicht etwa eine Variable eliminieren ,
> > > > > sondern dieser wirklich einen Wert zuweisen.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Los geht's !
> > > >
> > > > Nein, du hast nicht richtig gelesen, was ich geschrieben
> > > > habe. Die Zahlen waren alle NULL:
> > > >
> > > > I: 2x+5y-7z = 0
> > > > II: -4x+3y+4z = 0
> > > > III: 6x-y+5z = 0
> > > >
> > > > Und nun??
> > >
> > > >
> > > > Jetzt kannst du für x eine 1 tackern.
> > > >
> > > > Dann hast du :
> > > >
> > > > 2 + 5y - 7z = 0
> > > > -4 + 3y + 4z = 0
> > >
> > > >
> > > > Du löst das System und gibst die Lösungen dann in die
> > > > dritten Gleichung ein und prüfst, ob die stimmt.
> > > >
> > > > Genau so meinte ich es. Der "Witz" war doch, dass in den 3
> > > > Gleichungen mit 3 Unbekannten überhaupt keine Zahlen
> > > > vorkamen, sondern nur die NULL.
> > > >
> > > Das ist doch totaler Blödsinn - der Blödsinn ist
> > > unabhängig von der rechten Seite ... egal welche Zahlen
> > > dort stehen ! egal ob dort 0 oder etwas [mm]\neq[/mm] 0 steht.
> > >
> > > Du kannst nicht einfach UNBEKANNTE durch irgendwelche
> > > Zahlen ersetzen - das führt doch eine Gleichung ad
> > > absurdum wenn ich einfach irgendetwas festsetze !
> > >
> > > Probiere es doch an dem konkreten System oben!
> >
> > ich glaube, wenn man das, was rabilein vielleicht meint,
> > exakter formuliert,
> > will er auf redundante Gleichungen hinaus.
> >
> > Wenn man z.B. ein lineares GS hat, indem die dritte Zeile
> > eine Linearkombination
> > der ersten beiden ist, kann man sie weglassen, ohne die
> > Lösungsmenge
> > des GS zu verändern.
> Das ist natürlich richtig, aber das ist eine spezielle
> Art - im Allgemeinen ist das (so wie es rabilein
> formuliert) keine Möglichkeit ein GLS richtig zu lösen.
> >
> > Typischerweise behandelt man derartiges in der Linearen
> > Algebra und
> > Operations Research.
> >
> >
> > Und wenn man nachher mehr Variablen als Gleichungen hat,
> > dann sind
> > gewisse Variablen frei wählbar. (Standardmethode in der
> > Schule, um etwa
> > Parameterdarstellungen zu erstellen.)
> >
> > Eine *konkret mit einem Wert festzutackern* finde ich aber
> > auch ein wenig
> > merkwürdig, es sei denn, man braucht nur eine Lösung
> des
> > GS.
> >
> > Sauber formuliert wurde das von rabilein so aber nicht,
> > daher ist das vllt.
> > auch mehr ein Versuch, das Ganze sinnvoll zu
> > interpretieren ^^
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> Wie gesagt, es klingt so, als könnte man jedes homogene
> GLS (beispielsweise dritter Ordnung ) so lösen, dass man
> eine Variable festlegt und dann ein GLS der Ordnung zwei
> hat , welches man dann löst - dies ist aber i.A. falsch.
>
> Klar, wenn Gleichungen Linearkombinationen von Gleichungen
> selbigen Systems sind kann man diese einfach weglassen,
> ohne die Lösungsmenge zu ändern - aber es wurde nie
> erwähnt, dass rabilein solche GLS betrachtet.
wie gesagt: Das wäre das einzige, was ich verstehen könnte, worauf
rabilein hinaus will und was auch Sinn macht.
Vielleicht wollte ich da aber auch mehr reininterpretieren, als wirklich
gesagt wurde.
Btw.: Das Wort Blödsinn kann man ja durchaus mal verwenden; aber man
sollte es vielleicht nicht permanent gebrauchen. Das bewirkt sonst meist
etwas, was man vielleicht gar nicht will. Es geht doch nicht drum, jemanden
als blöd darstehen zu lassen, sondern eher darum, dass er vielleicht selber
zu der Einsicht kommt: "Ach Gott, was habe ich mir dabei nur gedacht..."
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") 
Und ja, ich weiß: Manchmal ist das wirklich schwer, wenn man etwas sagt
und permanent denkt: "Also so langsam müsste es doch mal angekommen
sein, warum das, was da behauptet wird, i.a. nicht passen kann..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Do 07.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Btw.: Das Wort Blödsinn kann man ja durchaus mal verwenden;
> aber man sollte es vielleicht nicht permanent gebrauchen.
"Blödsinnig" sind m.E. nur zwei Dinge:
Erstens, dass ihr dauernd den gesamten Text zitiert - so etwas ist extrem verwirrend.
Zweitens, dass ihr mich scheinbar überhaupt nicht verstanden habt:
Es ging hier um ein ganz spezielles Gleichungssystem, in dem alle Gleichungen NULL ergaben. Dann würden doch für sämtliche Variablen NULL rauskommen.
Aus dem Grunde muss man eine der Variablen mit einem Wert [mm] \not= [/mm] 0 festtackern.
Es war doch völlig wurscht, welche Zahlen für die Variablen rauskommen. Es ging doch nur um linear abhängig oder linear unabhängig.
Und bevor man da so ein kompliziertes Zeugs macht, wie ihr es vorhattet, kann man es auch so machen, wie ich es vorgeschlagen habe. Nur darum ging es, und um nichts anderes.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Btw.: Das Wort Blödsinn kann man ja durchaus mal
> verwenden;
> > aber man sollte es vielleicht nicht permanent gebrauchen.
>
> "Blödsinnig" sind m.E. nur zwei Dinge:
> Erstens, dass ihr dauernd den gesamten Text zitiert - so
> etwas ist extrem verwirrend.
ich finde es verwirrender, zusammenhangsloses Zeug in den Raum zu
werfen. Wenn ich zitiere, dann weiß ich genau, worauf ich mich beziehe,
weder ich noch mein Gegenüber kann sich herausreden.
> Zweitens, dass ihr mich scheinbar überhaupt nicht
> verstanden habt:
Denke mal über folgendes nach (ich rede jetzt aus meiner Sicht, als wenn
ich in Deiner Situation wäre):
Wenn mehr als zwei Leute mich nicht verstehen (bzw. hier eigentlich sogar
alle, mit denen Du kommunizierst), dann sollte ich mich fragen, ob es nicht
vielleicht an mir liegt, dass die Informationen, die ich rüberbringen will,
nicht so ankommen, wie ich es mir eigentlich erhoffe!
> Es ging hier um ein ganz spezielles Gleichungssystem, in
> dem alle Gleichungen NULL ergaben. Dann würden doch für
> sämtliche Variablen NULL rauskommen.
Nein - eben nicht: Für $x=y=z=1$ gilt
$x+y-2z=0$
$x-7y+6z=0$
$3x+4y-7z=0$
Warum soll das GS nun $x=y=z=0$ erzwingen? Dass mit $x=y=z=0$ auch ein Lösungstripel
(x,y,z) für das GS gegeben ist, ist eine andere Sache: Homogene(!) Gleichungssysteme
haben immer den "Nullvektor" als Lösung. Die Frage bei der linearen
(Un-)Abhängigkeit ist doch: Ist das die einzige Lösung?
(In die Sprache der linearen Algebra umgesetzt ist dann oben die Frage,
ob die Matrix
[mm] $\pmat{1, & 1, & -2\\1, & -7, & 6\\3, & 4, & -7}$
[/mm]
invertierbar ist oder nicht. Das kann man sich sehr leicht überlegen!)
> Aus dem Grunde muss man eine der Variablen mit einem Wert
> [mm]\not=[/mm] 0 festtackern.
MUSS?? Nein: Es gibt Situation, wo man so etwas machen KANN; es gibt
aber auch welche, wo man das nicht machen darf. Z.B. oben!
> Es war doch völlig wurscht, welche Zahlen für die
> Variablen rauskommen. Es ging doch nur um linear abhängig
> oder linear unabhängig.
Der Sinn dieses Satzes erschließt sich mir nicht.
> Und bevor man da so ein kompliziertes Zeugs macht, wie ihr
> es vorhattet, kann man es auch so machen, wie ich es
> vorgeschlagen habe. Nur darum ging es, und um nichts
> anderes.
Schön, dass Du der Meinung bist, dass die lineare Algebra schon seit
Jahrzehnten zu kompliziert aufgebaut ist. Dann schau' doch in das von
mir vorgeschlagene Buch und *vereinfache* mal diese unnötig komplizierten
Stellen.
Aber Warnung: Vermutlich wirst Du viele Gegenbeispiele bekommen, die
Dir zeigen, dass Dein *Verfahren* in nur ganz wenigen Situationen wirklich
brauchbar ist. Denn die Theorie, die hinter der linearen Algebra steckt, ist
schon ziemlich gut entwickelt/erforscht...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Sa 09.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Wenn ich zitiere, dann weiß ich genau, worauf ich mich beziehe.
> Weder ich noch mein Gegenüber kann sich herausreden.
Ja, das ist richtig. Aber manche Leute zitieren hier völlig sinnbefreit seiternlange Passagen.
Das ist es, was ich kritisiere.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Sa 09.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> > Zweitens, dass ihr mich scheinbar überhaupt nicht verstanden habt...
> Wenn mehr als zwei Leute mich nicht verstehen, dann sollte ich mich fragen,
> ob es nicht vielleicht an mir liegt, dass die Informationen, die ich rüberbringen will,
> nicht so ankommen, wie ich es mir eigentlich erhoffe!
Das frage ich mich allerdings. Dwenn wie ich deinen weiteren Ausführungen entnehme, hast du immer noch nicht verstanden, was ich sagen wollte.
Ich weiß auch nicht, ob es Sinn macht, es noch ein drittes und viertes Mal zu erklären. Trotzdem versuche ich es nochmal:
Es ging doch darum, herauszufinden, ob drei Vektoren linear abhängig sind (in einer Ebene liegen).
Anstatt diese Nullgleichungen aufzustellen und dann zu prüfen, ob es dafür mehr als eine Lösung gibt (alle drei Variable sind Null ist ja immer eine Lösung), habe ich gleich eine der Variablen gleich 1 gesetzt.
Dann wird geprüft, ob sich dieser Vektor (einer ganz konkret festgesetzten Länge) durch Addition der beiden anderen Vektoren mit variabler Länger (jetzt gibt es nur noch 2 Variablen) ergibt.
Diese ganze Sache mit der Null-Addition (wo alle 3 Vektoren variable Längen haben), erschien mir zu kompliziert und zu verquert gedacht (auch wenn das in den Lehrbüchern scheinbar überall so erklärt wird).
Wenn das jetzt immer noch nicht klar sein sollte, dann liegt es daran, dass ich kein richtiges Deutsch kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Zweitens, dass ihr mich scheinbar überhaupt nicht
> verstanden habt...
>
> > Wenn mehr als zwei Leute mich nicht verstehen, dann sollte
> ich mich fragen,
> > ob es nicht vielleicht an mir liegt, dass die
> Informationen, die ich rüberbringen will,
> > nicht so ankommen, wie ich es mir eigentlich erhoffe!
>
> Das frage ich mich allerdings. Dwenn wie ich deinen
> weiteren Ausführungen entnehme, hast du immer noch nicht
> verstanden, was ich sagen wollte.
>
> Ich weiß auch nicht, ob es Sinn macht, es noch ein drittes
> und viertes Mal zu erklären. Trotzdem versuche ich es
> nochmal:
>
> Es ging doch darum, herauszufinden, ob drei Vektoren linear
> abhängig sind (in einer Ebene liegen).
>
> Anstatt diese Nullgleichungen aufzustellen und dann zu
> prüfen, ob es dafür mehr als eine Lösung gibt (alle drei
> Variable sind Null ist ja immer eine Lösung), habe ich
> gleich eine der Variablen gleich 1 gesetzt.
und genau das steht doch mehrmals in Kritik, dass Du das nicht so einfach
darfst - ich erinnere mich an Hinweise wie *Damit führst Du ... ad absurdum*...
> Dann wird geprüft, ob sich dieser Vektor (einer ganz
> konkret festgesetzten Länge) durch Addition der beiden
> anderen Vektoren mit variabler Länger (jetzt gibt es nur
> noch 2 Variablen) ergibt.
>
> Diese ganze Sache mit der Null-Addition (wo alle 3 Vektoren
> variable Längen haben), erschien mir zu kompliziert und zu
> verquert gedacht (auch wenn das in den Lehrbüchern
> scheinbar überall so erklärt wird).
Ähm - ne, jetzt weiß ich nicht mehr, was Du mir sagen willst...
> Wenn das jetzt immer noch nicht klar sein sollte, dann
> liegt es daran, dass ich kein richtiges Deutsch kann.
Es liegt daran, dass Du einfach immer noch daran glaubst, dass Dein Weg
definitiv richtig ist.
Mach's einfach solange, bis Du Dich selbst irgendwann mal vom Gegenteil
überzeugt hast. Manche Diskussionen werden sinnfrei, vor allem, weil wir
Dir schon mehrere Argumente gebracht haben, warum das, was Du machst,
i.a. so nicht gehen wird, und Du das einfach nicht glauben willst.
Wenn Du irgendjemanden noch von dem Gegenteil überzeugen willst, dann
mach es mathematisch richtig:
Fomuliere Deine Aussage mathematisch detailliert und überzeuge uns von
der Richtigkeit, indem Du sie auch detailliert beweist.
Alles andere bleibt nun sinnfrei. Das ist so ähnlich wie Deine andere
Mitteilung eben, wo Du GLAUBST, dass mathematisches Vorwissen zur
Lösung einer Aufgabe irrelevant ist.
Ja, ist es, in dem Sinne: Ich kann eine Lösung einer Aufgabe so schreiben,
dass ich alles, was man eigentlich zur Lösung der Aufgabe braucht,
nochmal neu aufschreibe. Dann wird aus einer 2-Seiten Lösung, die deswegen
2 Seiten hat, weil ich etwa 30 Seiten Wissen aus einem Buch zur
Funktionalanalysis voraussetze, halt eine 32-Seiten Lösung.
Und bei jeder anderen Aufgabe, wo ich vielleicht das Wissen der gleichen
30 Seiten brauche, schreibe ich das natürlich auch immer wieder alles neu
auf.
Super effizient, und so kommt man natürlich auch ganz schnell weiter... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Vielleicht gehst Du mal auf irgendeine Seite irgendeines Professors, der
Vorlesungen und Übungen zur Analysis, Linearen Algebra oder wie auch
immer anbietet, schnappst Dir das Skript und machst das, was man im
Studium lernt: Du lernst den Inhalt des Skriptes und versuchst, nach und
nach Übungsaufgaben mit dem bisher gelernten zu lösen. Dann verstehst
Du vielleicht auch mal, warum man nicht immer bis Adam und Eva
zurückgehen kann.
Du kritisierst hier vermutlich nämlich etwas, was Dir entweder einfach nicht
gefällt, oder, und das vermute ich viel eher: Etwas, was Du selbst noch
gar nicht wirklich kennengelernt hast!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Sa 09.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Du kritisierst hier vermutlich nämlich etwas, was Dir entweder einfach nicht gefällt,
> oder, und das vermute ich viel eher: Etwas, was Du selbst noch gar nicht wirklich kennengelernt hast!
Deine erste Vermutung trifft es eher:
Manche Dinge werden immer soundso gemacht, und dann frage ich mich: Warum machen die das alle immer so kompliziert? Geht das nicht auch einfacher?
Und manchmal finde ich eben einen Weg, wie es auch einfacher geht. So wie bei der obigen Aufgabe. Allerdings findet man diesen Weg in keinem Buch (vermutlich schreibt jeder vom anderen ab).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
> > Du kritisierst hier vermutlich nämlich etwas, was Dir
> entweder einfach nicht gefällt,
> > oder, und das vermute ich viel eher: Etwas, was Du selbst
> noch gar nicht wirklich kennengelernt hast!
>
> Deine erste Vermutung trifft es eher:
> Manche Dinge werden immer soundso gemacht, und dann frage
> ich mich: Warum machen die das alle immer so kompliziert?
> Geht das nicht auch einfacher?
Der Ansatz ist okay. Aber nochmal: Wenn Du einen einfacheren Weg findest,
dann solltest Du in der Lage sein, das sauber zu formulieren und Deine
Behauptung zu beweisen!
> Und manchmal finde ich eben einen Weg, wie es auch
> einfacher geht. So wie bei der obigen Aufgabe. Allerdings
> findet man diesen Weg in keinem Buch (vermutlich schreibt
> jeder vom anderen ab).
Das ist absoluter Quatsch!!! (Das, was Du in der Klammer behauptest.)
Oft ist es eher so: Jemand meint, dass er eine *einfachere Methode*
gefunden hat, beschreibt die, kann sie aber nicht beweisen, und dann
kommt jemand anderes daher, und kann zeigen, dass das, was da
behauptet wird, einfach Unsinn (d.h. in der Regel falsch!) ist.
Nochmal: Gerade in der Linearen Algebra, ein Gebiet, was durchaus sehr
sehr tief erforscht und entwickelt ist, hat man schon sehr sehr viele Sätze,
die komplizierte Untersuchungen einfacher machen.
(Vielleicht holst Du Dir mal das Buch "Lineare Algebra" von Bosch, und
schaust Dir etwa Lemma 5 auf Seite 34 an. Dieses Lemma klingt nämlich
direkt plausibel, aber es vereinfacht viele Dinge einfach. Und man merkt
erst wirklich, wieviel Information da drinsteckt, wenn man es verstanden
hat!)
Solange Du NICHT hingehst, und Dich selbstständig damit auseinandersetzt,
also eigenständig studierst, meinetwegen, falls das geht, auch per Fernstudium,
wirst Du auch immer bei Deiner Meinung hier bleiben, einfach, weil Dir der
Überblick über das Gesamte fehlt.
Und hier war es ja okay: Ich hatte eine Lösung mit Differentialrechnung
angeboten, Du hattest eine, bei der man *weniger* braucht: Man muss
sich nur mit *geordneten Körpern* auskennen.
(Übrigens heißt das keineswegs, dass Du der einzige bist, der diesen
Gedankengang hatte. Ich hatte direkt einen anderen Weg eingeschlagen,
also ja: Ich hatte ihn nicht. Aber es gibt noch mehr Menschen außer Dir
und mir.)
Manchmal ist es wirklich so, dass es auch eine einfache Lösung gibt, die
man nicht sieht. Aber dass Du nun einfach alles generalisierst und
behauptest, dass alles immer viel zu kompliziert gemacht werde: Da
lehnst Du Dich aber sehr sehr weit aus dem Fenster.
Zumal Du Dich ja anscheinend in keinem Gebiet der Mathematik mal wirklich
*vertieft* zu haben scheinst. Und das finde ich sehr gewagt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Sa 09.05.2015 | | Autor: | chrisno |
> > Du kritisierst hier vermutlich nämlich etwas, was Dir
> entweder einfach nicht gefällt,
> > oder, und das vermute ich viel eher: Etwas, was Du selbst
> noch gar nicht wirklich kennengelernt hast!
>
> Deine erste Vermutung trifft es eher:
> Manche Dinge werden immer soundso gemacht, und dann frage
> ich mich: Warum machen die das alle immer so kompliziert?
> Geht das nicht auch einfacher?
>
Ich hoffe, diese Diskussion in eine konstruktivere Richtung zu lenken. Ausgangspunkt ist die Frage ob drei Vektoren linear unabhängig sind. Dies ist der Fall, wenn
$ [mm] \vektor{0\\0\\0}=\lambda_1\cdot{}\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 } [/mm] $ nur für [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$ erfüllt ist.
Anmerkung: Wenn das Gleichungssystem für ein Tripel [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ [/mm] erfüllt ist, dann auch für $r [mm] \cdot \lambda_1, [/mm] r [mm] \cdot \lambda_2, [/mm] r [mm] \cdot \lambda_3$ [/mm] mit $r [mm] \in \IR$, [/mm] weil es ein homogenes Gleichungssystem ist.
Annahme: die drei Vektoren sind linear abhängig, und [mm] $\lambda_1 \ne [/mm] 0$. Dann kann nach obiger Anmerkung [mm] $\lambda_1 [/mm] = -1$ gesetzt werden (Ich ziehe hier -1 anstelle der 1 vor). Umgeschrieben steht dann als Gleichungssystem da:
$ [mm] \vektor{2\\4 \\6 } [/mm] = [mm] \lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 } [/mm] $
Nun kann man in der Tat das Gleichungssystem der ersten beiden Gleichungen lösen. Falls es eine Lösung hat, kann man dann mit der dritten Gleichung prüfen, ob auch diese so gelöst wird. Wenn das so ist, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Ich hoffe, dass ich soweit Rabilein1 richtig interpretiere, denn so steht es nicht bei ihm. Nun kommt das Problem:
Falls es keine Lösung gibt, dann ist man nur etwas schlauer. Gezeigt ist nun, dass [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$ sein muss, auch falls die Vektoren linear abhängig sind. Das Ganze muss also für [mm] $\lambda_2 [/mm] $ erneut durchgeführt werden. Ich vermute, dass es für den Fall, dass dann auch keine Lösung existiert, schon die lineare Unabhängigkeit gezeigt ist, und nicht noch das Ganze für [mm] $\lambda_3$ [/mm] wiederholt werden muss. Die schnell erkennbare Ausnahme ist der Fall, dass [mm] $\lambda_3$ [/mm] vor einem Nullvektor steht.
> Und manchmal finde ich eben einen Weg, wie es auch
> einfacher geht. So wie bei der obigen Aufgabe. Allerdings
> findet man diesen Weg in keinem Buch (vermutlich schreibt
> jeder vom anderen ab).
>
Welcher Weg schneller und übersichtlicher ist, muss jeder für sich entscheiden.
Ich vermute, dass die meisten Autoren die übliche Darstellung für übersichtlicher und besser in einen systematischen Aufbau passend halten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 So 10.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chrisno,
> > > Du kritisierst hier vermutlich nämlich etwas, was Dir
> > entweder einfach nicht gefällt,
> > > oder, und das vermute ich viel eher: Etwas, was Du selbst
> > noch gar nicht wirklich kennengelernt hast!
> >
> > Deine erste Vermutung trifft es eher:
> > Manche Dinge werden immer soundso gemacht, und dann frage
> > ich mich: Warum machen die das alle immer so kompliziert?
> > Geht das nicht auch einfacher?
> >
>
> Ich hoffe, diese Diskussion in eine konstruktivere Richtung
> zu lenken. Ausgangspunkt ist die Frage ob drei Vektoren
> linear unabhängig sind. Dies ist der Fall, wenn
> [mm]\vektor{0\\0\\0}=\lambda_1\cdot{}\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 }[/mm]
> nur für [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm] erfüllt
> ist.
>
> Anmerkung: Wenn das Gleichungssystem für ein Tripel
> [mm]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3[/mm] erfüllt ist, dann auch
> für [mm]r \cdot \lambda_1, r \cdot \lambda_2, r \cdot \lambda_3[/mm]
> mit [mm]r \in \IR[/mm], weil es ein homogenes Gleichungssystem ist.
>
> Annahme: die drei Vektoren sind linear abhängig, und
> [mm]\lambda_1 \ne 0[/mm]. Dann kann nach obiger Anmerkung [mm]\lambda_1 = -1[/mm]
> gesetzt werden (Ich ziehe hier -1 anstelle der 1 vor).
> Umgeschrieben steht dann als Gleichungssystem da:
> [mm]\vektor{2\\4 \\6 } = \lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 }[/mm]
>
> Nun kann man in der Tat das Gleichungssystem der ersten
> beiden Gleichungen lösen. Falls es eine Lösung hat, kann
> man dann mit der dritten Gleichung prüfen, ob auch diese
> so gelöst wird. Wenn das so ist, dann sind die Vektoren
> linear abhängig.
>
> Ich hoffe, dass ich soweit Rabilein1 richtig interpretiere,
> denn so steht es nicht bei ihm. Nun kommt das Problem:
>
> Falls es keine Lösung gibt, dann ist man nur etwas
> schlauer. Gezeigt ist nun, dass [mm]\lambda_1 = 0[/mm] sein muss,
> auch falls die Vektoren linear abhängig sind. Das Ganze
> muss also für [mm]\lambda_2[/mm] erneut durchgeführt werden. Ich
> vermute, dass es für den Fall, dass dann auch keine
> Lösung existiert, schon die lineare Unabhängigkeit
> gezeigt ist, und nicht noch das Ganze für [mm]\lambda_3[/mm]
> wiederholt werden muss. Die schnell erkennbare Ausnahme ist
> der Fall, dass [mm]\lambda_3[/mm] vor einem Nullvektor steht.
>
> > Und manchmal finde ich eben einen Weg, wie es auch
> > einfacher geht. So wie bei der obigen Aufgabe. Allerdings
> > findet man diesen Weg in keinem Buch (vermutlich schreibt
> > jeder vom anderen ab).
> >
> Welcher Weg schneller und übersichtlicher ist, muss jeder
> für sich entscheiden.
> Ich vermute, dass die meisten Autoren die übliche
> Darstellung für übersichtlicher und besser in einen
> systematischen Aufbau passend halten.
alles, was hier gemacht wird, ist i.W. ein Spezialfall des Satze von Seite 9
hier:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/infalg3.pdf
Wir hatten derartiges auch schonmal:
https://matheraum.de/read?i=990045
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 So 10.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Danke Chrisno, deine Ausführungen waren verständlich und auf alle Fälle hilfreicher, als irgendwelche Kommentare, die hauptsächlich aus Wörtern wie "Quatsch" und "Unsinn" bestehen.
Es ist richtig, dass, wenn bereits 2 der 3 Vektoren linear abhängig sind,
z.B. [mm]\vektor{1\\2 \\3 }[/mm] und [mm]\vektor{2\\4 \\6 }[/mm],
dass dann einer der [mm]\lambda[/mm]-Werte Null wird.
Das hatte ich wohl nicht berücksichtigt, und darin lag mein Fehler. Sorry.
Aber anstatt diesen einen Satz zu schreiben, wird da seitenlang rumargumentiert, und genau das ist das, was mich an der Debatte so gestört hat.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 So 10.05.2015 | | Autor: | Marcel |
> Danke Chrisno, deine Ausführungen waren verständlich und
> auf alle Fälle hilfreicher, als irgendwelche Kommentare,
> die hauptsächlich aus Wörtern wie "Quatsch" und "Unsinn"
> bestehen.
Ich habe überwiegend versucht, sowas zu vermeiden, und andere darauf
aufmerksam zu machen, etwas *sparsamer* damit umzugehen.
Nichtsdestotrotz stecken in den anderen Mitteilungen immer auch
Informationen, mit denen Du auch selbst hättest herausarbeiten
können (falls es für Dich nicht direkt ersichtlich war), dass Dein
*Verfahren* Probleme bereitet/bereiten kann.
Mich störte an der Debatte viel mehr, dass Du einfach immer wieder
nur wiederholt hast, was Du meinst und wie Du vorgehst, anstatt
mal die Kritik auch als solche aufzufassen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 So 10.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe das mit "meinem" Verfahren jetzt noch mal durchprobiert mit den Spezialfällen:
[mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] [mm]\vektor{2\\4\\6}[/mm] [mm]\vektor{10\\10\\10}[/mm] = linear abhängig
beziehungsweise
[mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] [mm]\vektor{2\\4\\8}[/mm] [mm]\vektor{10\\10\\10}[/mm] = linear unabhängig
In beiden Fällen wird man - sofern man den Vektor [mm]\vektor{10\\10\\10} [/mm] festtackert - zunächst einmal auf einen Widerspruch stoßen.
(Die ersten beiden Zeilen der ersten beiden Vektoren - also [mm]\vektor{1\\2}[/mm] [mm]\vektor{2\\4}[/mm] - würden ja in beiden Fällen lineare Abhängigkeit suggerieren.)
Weil man aber nicht sofort zu einem eindeutigen Ergebnis kommt, muss man weiterprobieren, was am besten dadurch geschieht, dass man nicht mehr den Vektor [mm]\vektor{10\\10\\10} [/mm] festtackert, sondern einen der beiden anderen Vektoren.
Dann löst sich das Problem auch schnell, und man kommt wieder zu dem richtigen Ergebnis, nämlich "linear abhängig" im ersten Fall bzw. "linear unabhängig" im zweiten Fall.
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rabilein,
lineare Abhängigkeit kann man zeigen, indem man zeigt, daß man mindestens einen der fraglichen Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben kann,
lineare Unabhängigkeit kann man zeigen, indem man zeigt, daß man keinen der fraglichen Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben kann.
Das weißt Du, und das nutzt Du bei der Untersuchung Deiner Vektoren.
Alternativ kann man lineare Unabhängigkeit zeigen, indem man zeigt, daß die einzige Linearkobination der fraglichen Vektoren, mit der man den Nullvektor erzeugen kann, die Linearkombination ist, bei der alle Faktoren vor den Vektoren 0 sind.
Sofern es noch eine andere Lösung gibt, sind sie linear abhängig.
Dies ist die Vorgehensweise, die Du umständlich findest.
Ich denke, Du findest sie umständlich, weil man es mit einer Variablen mehr zu tun hat.
Trotzdem hat diese Vorgehensweise Charme: es sind lineare Gleichungssysteme ja eine übersichtliche Sache, und sofern man gelernt hat, sie systematisch zu lösen, ist es "mehr oder weniger" wurscht, wie viele Variablen es sind.
Jetzt stell Dir vor, wir sind etwa im [mm] \IR^7 [/mm] und haben dort 7 Vektoren, die wir auf lineare Unabhängigkeit prüfen möchten: mit "Deiner" Methode müssen wir u.U. 7 LGSe mit 6 Variablen lösen, bis wir Klareit haben,
mit der anderen Methode ein LGS mit 7 Variablen.
Ich wüßte, was ich lieber täte...
Du wirst einwenden, daß Untersuchungen im [mm] \IR^7 [/mm] absolut exotisch sind - und in der Schule kommt das in der Tat nicht vor.
Meine Nachhilfeschüler lernen und üben lineare (Un)Abhängigkeit an ihren Schulen zuerst mit "Deiner" Definition.
Wenn sie das ein wenig geübt haben, kommt die andere (gleichwertige), und sie können selbst entscheiden, welche sie verwenden.
Dein Beispiel [mm] \vektor{1\\2\\3},\vektor{2\\4\\6}, \vektor{10\\10\\10} [/mm] ist so offensichtlich linear abhängig, daß ich hoffen würde, daß meine Schüler das sofort sehen und gar nicht großartig rumrechnen.
Und bei den Schulaufgaben, in denen drei Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] weniger offensichtlich linear abhängig sind, kommt man tatsächlich mit einer Gleichung hin - was "Deine" Vorgehensweise attraktiv macht.
Sind die Vektoren allerdings unabhängig, müssen drei Gleichungssysteme gelöst werden, und das macht sie wiederum unattraktiv - zumindest wenn man Herrscher über drei Variablen ist.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 So 10.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> rabilein,
>
> lineare Abhängigkeit kann man zeigen, indem man zeigt,
> daß man mindestens einen der fraglichen Vektoren als
> Linearkombination der anderen schreiben kann,
>
> lineare Unabhängigkeit kann man zeigen, indem man zeigt,
> daß man keinen der fraglichen Vektoren als
> Linearkombination der anderen schreiben kann.
>
> Das weißt Du, und das nutzt Du bei der Untersuchung Deiner
> Vektoren.
>
>
>
> Alternativ kann man lineare Unabhängigkeit zeigen, indem
> man zeigt, daß die einzige Linearkobination der fraglichen
> Vektoren, mit der man den Nullvektor erzeugen kann, die
> Linearkombination ist, bei der alle Faktoren vor den
> Vektoren 0 sind.
> Sofern es noch eine andere Lösung gibt, sind sie linear
> abhängig.
>
> Dies ist die Vorgehensweise, die Du umständlich findest.
> Ich denke, Du findest sie umständlich, weil man es mit
> einer Variablen mehr zu tun hat.
>
> Trotzdem hat diese Vorgehensweise Charme: ...
nicht nur das, denn ich bitte darum, dass das
hier (klick!)
nochmal Beachtung findet.
Dort hatten wir 4 Vektoren. Wenn man mit der dort gegebenen Definition
vorgeht, dann haben wir
4 Gleichungs-SYSTEME mit 3 Variablen
zu untersuchen. Und zwar rein per Definitionem, ohne, dass man sich
erstmal Gedanken macht, ob man die Anzahl der Gleichungssystem
reduzieren kann!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 So 10.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Angela, du hast es genau erfasst:
Im [mm]\IR^3[/mm] lässt sich meist schon auf den ersten Blick erkennen, ob so ein Spezialfall überhaupt vorliegt.
Die anderen haben natürlich recht, dass man das bei [mm]\IR^4[/mm] und höher nicht so einfach sieht.
Allerdings bezog sich die Ursprungsaufgabe ja auch auf [mm]\IR^3[/mm], und so ein "offensichtliche" lineare Abhängigkeit war da nicht erkennbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Do 07.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Das ist doch totaler Blödsinn - der Blödsinn ist
> unabhängig von der rechten Seite ... egal welche Zahlen
> dort stehen ! egal ob dort 0 oder etwas [mm]\neq[/mm] 0 steht.
Das ist nicht egal. Im Gegenteil: Das funktikoniert nur, wenn überall NULL steht
> Du kannst nicht einfach UNBEKANNTE durch irgendwelche
> Zahlen ersetzen - das führt doch eine Gleichung ad
> absurdum wenn ich einfach irgendetwas festsetze !
Genau so ist es, wenn da Zahlen [mm] \not= [/mm] 0 stehen. Dann kriegt man ja für die Variablen auch konkrete Ergebnisse. Aber wenn da überall nur NULL steht, dann kannst du für die Variablen gleich NULL setzen, ohne weiter zu rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Das ist völliger Unsinn. Ich denke mir mal ein LGS aus mit
> > der eindeutigen Lösung a=7,b=-3 und c=0.
> >
> > Da gibts nichts zu tackern !
> >
> > FRED
>
> Das ist kein Unsinn, was ich geschrieben habe. Du hast nur
> nicht verstanden, was ich meinte.
das wäre ein seltener Fall, dass Fred nicht weiß, was man meint.
Ich würde aber empfehlen: Schau' bei Gelegenheit mal etwa in *Bosch,
Lineare Algebra* rein.
Da stehen solche wunderbaren Sätze drin, wann das lineare GS
$Ax=b$
lösbar, eindeutig lösbar oder gar nicht lösbar ist.
Ein Vergleich zwischen [mm] $\text{rg}(A)$ [/mm] und [mm] $\text{rg}(A|b)$ [/mm] hilft dabei.
Wenn's nur um's Wissen geht (also Beweise evtl. nicht notwendig)
![[]](/images/popup.gif) http://www.fbmn.h-da.de/~ochs/mathe2/skript/matrizen13b.pdf
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 So 10.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Diese ganze Diskussion erinnert mich daran:
https://matheraum.de/read?t=591728
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\vektor{0\\0\\0}=\lambda_1\cdot{}\vektor{2\\4 \\6 }+\lambda_2\cdot{}\vektor{4\\ -6\\ 2}+\lambda_3\cdot{}\vektor{6\\ 2\\-2 }[/mm]
>
>
> kann mir das eventuell schnell mal jemand schriftlich
> darlegen?
ich schreibe [mm] $r=\lambda_1$, $s=\lambda_2$ [/mm] und [mm] $t=\lambda_3$. [/mm] Dann
$0=2r+4s+6t$
$0=4r-6s+2t$
$0=6r+2s-2t$
Mache aus diesem LGS mit drei Variablen eins mit 2: Wir kombinieren die erste
und die zweite Gleichung so, dass t rausfliegt, und wir kombinieren die erste mit
der dritten so, dass (die gleiche Variable t) rausfliegt:
Die erste - 3* die zweite:
$0=0-3*0=2r+4s+6t-3*(4r-6s+2t)=-10r+22s$
Die erste + 3* die dritte:
$0=0+3*0=2r+4s+6t+3*(6r+2s-2t)=20r+10s$
Damit wir die Information über t nicht verlieren, nehmen wir die allererste
Gleichung nochmal mit, d.h. das neue LGS ist
$0=2r+4s+6t$
$0=-10r+22s$
$0=20r+10s$
Den Rest bekommst Du hin, oder?
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 Sa 25.11.2006 | | Autor: | svcds |
hi du hast mir die augen geöffnet vielen Dank.
Weisst du vielleicht ein sehr gutes einfaches buch zu diesem Stoff? also praktisch Mathe für "Dummies" ?
die bisherigen Bücher sind für mich alle schwer zu verstehen.
lg
Knut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Mo 27.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mo 29.08.2005 | | Autor: | HWK |
Hallo,
herzlichen Dank, genau das war es was ich gesucht habe. Hoffe nun, daß ich für meine Klausur bestens Vorbereitet bin und wünsche noch eine angenehme Nacht.
Gruß
HWK
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