Erzeugendensystem und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mi 03.01.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Es ist U =< [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 2 \\ 6} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{5 \\ 7 \\ 2 \\ 6} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ -1 \\ 0} [/mm] > ein Unterraum von [mm] \IR^{4}.
[/mm]
Wir setzten [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, a_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, a_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}. [/mm]
Prüfe, ob das Vektorsystem [mm] (a_{1}, a_{2}, a_{3}) [/mm] Erzeugendensystem oder sogar Basis von U ist. |
Hallo zusammen!
Ein Möglichkeit obiges Problem zu lösen, wäre doch zu zeigen, dass jeder Vektor aus U als Linearkombination des Vektorsystems [mm] (a_{1}, a_{2}, a_{3}) [/mm] darstellbar ist. Wenn die Vektoren zusätzlich linear unabhängig sind, wären sie eine Basis von U? Da dies aber nur eine von 3 Teilaufgaben ist, hätte ich eine Menge Schreibarbeit, da ich ja alleine hier evtl. 4 LGS'e zu prüfen hätte.
Es muss doch noch eine kürzere Möglichkeit des Nachweises geben, oder? Aber mir fällt leider nichts dazu ein.
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es ist U =< [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 2 \\ 6}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
> , [mm]\vektor{5 \\ 7 \\ 2 \\ 6}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ -1 \\ 0}[/mm] >
> ein Unterraum von [mm]\IR^{4}.[/mm]
> Wir setzten [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, a_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, a_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}.[/mm]
> Prüfe, ob das Vektorsystem [mm](a_{1}, a_{2}, a_{3})[/mm]
> Erzeugendensystem oder sogar Basis von U ist.
> Hallo zusammen!
> Ein Möglichkeit obiges Problem zu lösen, wäre doch zu
> zeigen, dass jeder Vektor aus U als Linearkombination des
> Vektorsystems [mm](a_{1}, a_{2}, a_{3})[/mm] darstellbar ist. Wenn
> die Vektoren zusätzlich linear unabhängig sind, wären sie
> eine Basis von U? Da dies aber nur eine von 3 Teilaufgaben
> ist, hätte ich eine Menge Schreibarbeit, da ich ja alleine
> hier evtl. 4 LGS'e zu prüfen hätte.
Hallo,
so könntest Du die Sache jedenfalls angehen, und sie hat den großen Vorteil, daß Du weißt, was Du warum tust.
>
> Es muss doch noch eine kürzere Möglichkeit des Nachweises
> geben, oder? Aber mir fällt leider nichts dazu ein.
Ich selbst würde die Sache etwas anders anpacken.
Ich würde erstmal schauen, welche Dimension der Raum U hat.
Es läge ja immerhin im Bereich des Möglichen, daß er die Dimension 4 hat, was zur Folge hätte, daß Du für $ [mm] (a_{1}, a_{2}, a_{3}) [/mm] $ sowohl Basis als auch Erzeugendensystem knicken könntest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 03.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo Angela,
danke zunächt für deine schnelle Hilfe!
Wenn ich mich nicht irre, ist die Dimension von dim U = 3. Hilft mir das weiter?
So ganz habe ich das mit der Dimension allerdings noch nicht kapiert.
Ist das die Anzahl der Basisvektoren eines Vektorraums? Und ist dies gleich dem Rang der zugehörigen Matrix (Die ist nämlich 3)?
Ich sehe halt noch nicht ganz, wie mir das weiterhelfen kann...
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> Wenn ich mich nicht irre, ist die Dimension von dim U = 3.
> Hilft mir das weiter?
Hallo,
jetzt habe ich versehentlich eine nahezu fertige Antwort gelöscht...
Auf ein neues.
Du hast recht, die Dimension ist 3, ich hatte mich vorhin auf meinem Zettelchen verrechnet.
Die Information bringt Dir durchaus etwas: wenn Du zeigen kannst, daß [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] den Raum U erzeugt, weißt du, daß es eine Basis ist.
[mm] U=.
[/mm]
Um festzustellen, ob [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] den Raum U erzeugt, mußt Du herausfinden, ob es zu vorgegebenen A,B,C,D passende a,b,c gibt mit
[mm] aa_1+ba_2+ca_3=Av_1+Bv_2+Cv_3+Dv_4.
[/mm]
Du mußt also das GS aus 4 Gleichungen so auflösen können, daß Du schließlich a,b,c in Abhängigkeit von A,B,C,D dastehen hast.
Wie Du das im einzelnen machst, ist Deinem persönlichen Gusto überlassen- - Hauptsache richtig!
Ich selbst mache mir ein Matrixschema
1 0 1 3 1 5 3
1 1 0 5 3 7 2
1 1 -1 2 2 2 -1
1 0 0 6 4 6 0
welches ich dann nach Möglichkeit umforme zu
1 0 0 ... ... ... ...
0 1 0 ... ... ... ...
0 0 1 ... ... ... ...
0 0 0 ... ... ... ...
Vielleicht ist das sogar das, wonach Du anfänglich suchtest?
Statt zu gucken, ob ich jeden [mm] v_i [/mm] einzeln als Linearkombination der drei [mm] a_i [/mm] schreiben kann, schaue ich nach ob man jede Linearkombination der [mm] v_i [/mm] als Linearkombination der [mm] a_i [/mm] schreiben kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 03.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo Angela,
ich glaube diese Gegnüberstellung der Gleichungen habe ich zur Vereinfachung gesucht. Kannte ich gar nicht, dass das geht.
Auf jeden Fall habe ich jetzt abschließend folgende Matrix raus (falls nicht verrechnet):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 3 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 4 & 6 & 0 }
[/mm]
Die erste Zeile würde ja zu einem Widerspruch führen. Könnte ich damit dann begründen, dass mein Vektorsystem kein Erzeugendensystem von U und so auch keine Basis ist?
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>
> Auf jeden Fall habe ich jetzt abschließend folgende Matrix
> raus (falls nicht verrechnet):
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 3 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 4 & 6 & 0 }[/mm]
>
> Die erste Zeile würde ja zu einem Widerspruch führen.
Zu welchem???
Wenn's Dir zuviele Nullen sind, addiere die letzte Zeile dazu...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 03.01.2007 | | Autor: | PixCell |
> Zu welchem???
Ach nee, das war ja anders rum. Links Nullen und rechts Koeffizienten ungleich Null. UUPS!
> Wenn's Dir zuviele Nullen sind, addiere die letzte Zeile
> dazu...
Kann ich das denn so einfach? Dann bleibt meine letzte Zeile aber doch trotzdem unverändert erhalten, oder? Und hätte ich nicht hier meinen Widerspruch? Denn dann stände da ja 0a1 + 0a2 + 0a3 = 6v1 + 4v2 + 6v3 + 0v4.
Also irgendwie hab ich's leider noch nicht so ganz... Sorry!
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> > Zu welchem???
>
> Ach nee, das war ja anders rum. Links Nullen und rechts
> Koeffizienten ungleich Null. UUPS!
>
> > Wenn's Dir zuviele Nullen sind, addiere die letzte Zeile
> > dazu...
>
> Kann ich das denn so einfach?
Klar! Es ergibt sich dann etwas, was man schon in dem Ausgangsschema hätte ablesen können:
1 0 1 3 1 5 3
1 1 0 5 3 7 2
1 1 -1 2 2 2 -1
1 0 0 6 4 6 0
Da lesen wir in der letzen Zeile: a=6A+3B+6C
Dann bleibt meine letzte
> Zeile aber doch trotzdem unverändert erhalten, oder?
Ja.
Und
> hätte ich nicht hier meinen Widerspruch? Denn dann stände
> da ja 0a1 + 0a2 + 0a3 = 6v1 + 4v2 + 6v3 + 0v4.
>
Nein, die letzte Zeile sagt uns 0=0a + 0b + 0c=6A+4B+6C
Sie macht uns in der Tat Scherereien. Sie sagt uns, daß wir nicht jegliche beliebige Linearkombination der [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] durch Linearkombinationen der [mm] a_i [/mm] ausdrücken können, sondern nur diejenigen, für welche 0=6A+4B+6C.
z.B. läßt sich [mm] v_2=0v_1 [/mm] + [mm] 1v_2 [/mm] + [mm] 0v_3 [/mm] + [mm] 0v_4 [/mm] nicht durch Linearkombination von [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] schreiben.
Also ist [mm] (a_1, a_2, a_3) [/mm] kein Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 03.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hi Angela,
jetzt habe ichs dann auch kapiert. Tausend Dank an dich!!
Werde jetzt mal versuchen die anderen beiden Teilaufgaben ähnlich zu bearbeiten.
Mal sehen wie es damit läuft.
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