Erzeugendensysteme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Di 12.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
Hallo! Ich habe da mal eine Frage zu Erzeugendensystemen...
Ich habe glaube ich noch nicht so wirlich verstanden, wie das funktioniert...
Also [mm] lin{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}} [/mm] = [mm] \IR^2
[/mm]
Aber warum? Weil ich durch die beiden Einheitsvektoren jeden Punkt im [mm] \IR^2 [/mm] darstellen kann?
Dann versteh ich aber noch nicht so ganz, warum Also [mm] lin{\vektor{1 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1}, \vektor{2 \\ -3}} [/mm] = [mm] \IR^2 [/mm] ist... Kann mir das vielleicht mal jemand kurz erklären? Komme echt nicht drauf.... :(
Vielen Dank schonmal...
Lg,
Helmut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 12.12.2006 | | Autor: | DesterX |
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> Also [mm]lin{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}}[/mm] = [mm]\IR^2[/mm]
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> Aber warum? Weil ich durch die beiden Einheitsvektoren
> jeden Punkt im [mm]\IR^2[/mm] darstellen kann?
Genau so ist es!
> Dann versteh ich aber noch nicht so ganz, warum Also
> [mm]lin{\vektor{1 \\ -1}, \vektor{2 \\ 1}, \vektor{2 \\ -3}}[/mm] =
> [mm]\IR^2[/mm] ist...
Aus genau dem gleichen Grund - du kannst mit 2 linearunabhängigen Vektoren aus dem [mm] \IR^2 [/mm] stets alle anderen Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] durch diese Beiden erzeugen! (im [mm] \IR^3 [/mm] brauchst du 3 lin.-unabh. usw.) Wenn du dann noch weitere Vektoren zum Erzeugendensystem hinzufügst, bleibt diese Eigenschaft natürlich erhalten.
"Vektoren erzeugen" heisst übrigens z.B. für beliebige x,y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y}= r*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
findest du stets ein r und ein s, die diese Gleichung lösen.
Gruß,
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Di 12.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
Ahhhh... Das macht die Sache schon klarer :)
Vielen Dank für deinen Tipp!
Gruß,
Helmut
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