Erzeugenessystem im UR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 13.05.2007 | | Autor: | Karras |
| Aufgabe | U [mm] \subset \IR³
[/mm]
[mm] U=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR³ | x_{1} + 2x_{2}+ 3x_{3} = 0\}
[/mm]
Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor aus U als Liniarkombination von [mm] v_{1}=\vektor{2\\-1\\0} [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{3\\0\\-1} [/mm] darstellen lässt. |
Die beiden Vektoren liegen auf jeden fall schonmal in U.
Ich muss nun zeigen das [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] ein Erzeugendessystem von U bilden. Also [mm] \lambda_{1} \vektor{2\\-1\\0} [/mm] + [mm] \lambda_{2} \vektor{3\\0\\-1} [/mm] = U
Nun weiß ich aber nicht so recht wie ich die Def. von U in die Gleichung mit reinbekomme, so dass ich das für ganz U beweißen kann. Ich hoffe mir kann da jemand helfen. Thx
MfG Karras
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 13.05.2007 | | Autor: | JanSu |
Der Unterraum beschreibt geometrisch betrachtet doch eine Ebene im [mm] \IR^{3}. [/mm] Versuch einfach mal diese Ebene von der gegebenen Koordinatendarstellung in Parameterdarstellung zu überführen. Die Begründung, die du suchst, sollte dich dann beinah anschreien. 
MfG,
- JanSu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 So 13.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> U [mm]\subset \IR³[/mm]
> [mm]U=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR³ | x_{1} + 2x_{2}+ 3x_{3} = 0\}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor aus U als
> Liniarkombination von [mm]v_{1}=\vektor{2\\-1\\0}[/mm] und
> [mm]v_{2}=\vektor{3\\0\\-1}[/mm] darstellen lässt.
> Die beiden Vektoren liegen auf jeden fall schonmal in U.
> Ich muss nun zeigen das [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] ein
> Erzeugendessystem von U bilden. Also [mm]\lambda_{1} \vektor{2\\-1\\0}[/mm]
> + [mm]\lambda_{2} \vektor{3\\0\\-1}[/mm] = U
> Nun weiß ich aber nicht so recht wie ich die Def. von U in
> die Gleichung mit reinbekomme, so dass ich das für ganz U
> beweißen kann. Ich hoffe mir kann da jemand helfen. Thx
Eine etwas abstraktere Idee:
$U$ ist ein Untervektorraum von [mm] $\IR^3$, [/mm] und zwar ein echter (finde einen Vektor, der nicht drinnen liegt). Also ist [mm] $\dim [/mm] U < [mm] \dim \IR^3 [/mm] = 3$.
Wenn also [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] in $U$ liegen und linear unabhaengig sind, dann gilt [mm] $\dim [/mm] U [mm] \ge [/mm] 2$.
Da jedoch $3 > [mm] \dim [/mm] U [mm] \ge [/mm] 2$ ist, muss [mm] $\dim [/mm] U = 2$ sein. Damit bilden [mm] $(v_1, v_2)$ [/mm] eine Basis von $U$, womit sie insbesondere ein Erzeugendensystem sind.
(Man kann uebrigens aus der Definition von $U$ schon direkt ablesen (mit etwas Theorie), dass [mm] $\dim [/mm] U = 2$ ist. Stichwort: Dimensionsformel.)
LG Felix
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