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| Aufgabe | | Es sei [mm] \sigma=(2,4,3,5,6,7,1) [/mm] und [mm] \tau=(4,6) [/mm] Permutationen in [mm] S_7. [/mm] Zeige sie: [mm] \langle\sigma,\tau\rangle=S_7 [/mm] |
Hallo,
ich weiß,
[mm] |S_7|=7!=5040
[/mm]
Das Inverse von [mm] \sigma [/mm] ist [mm] \sigma^6 [/mm] und [mm] \tau [/mm] ist selbstinvers.
Jetzt muss es doch eine Möglichkeit geben, zu zeigen, dass [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] die symmetrische Gruppe [mm] S_7 [/mm] erzeugt, ohne alle Verknüpfungen aufzulisten, oder?
Als Tipp habe ich bekommen, dass wir verwenden dürfen, dass [mm] S_7 [/mm] von den speziellen Transpositionen (1,2),(2,3),...,(6,7) erzeugt wird.
Kann mir das jemand erklären?
Ich verstehe das so, dass ich eventuell nur folgende Verknüpfungen brauche:
[mm] \sigma^i\circ\tau^j\circ...=\pmat{ 1 & 2 &3&4&5&6&7\\ 2 & 1 & 3 & 4 &5&6&7} [/mm] usw., bis ich alle Elemente der speziellen Transpositionen gefunden habe.
Stimmt das soweit?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Gruß
gr_geissler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Sa 11.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]\sigma=(2,4,3,5,6,7,1)[/mm] und [mm]\tau=(4,6)[/mm] Permutationen
> in [mm]S_7.[/mm] Zeige sie: [mm]\langle\sigma,\tau\rangle=S_7[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß,
>
> [mm]|S_7|=7!=5040[/mm]
>
> Das Inverse von [mm]\sigma[/mm] ist [mm]\sigma^6[/mm] und [mm]\tau[/mm] ist
> selbstinvers.
>
> Jetzt muss es doch eine Möglichkeit geben, zu zeigen, dass
> [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] die symmetrische Gruppe [mm]S_7[/mm] erzeugt, ohne
> alle Verknüpfungen aufzulisten, oder?
Ja.
> Als Tipp habe ich bekommen, dass wir verwenden dürfen,
> dass [mm]S_7[/mm] von den speziellen Transpositionen
> (1,2),(2,3),...,(6,7) erzeugt wird.
> Kann mir das jemand erklären?
Willst du wissen, was du mit den Tipp anfangen sollst, oder warum diese Aussage im Tipp stimmt? Ich nehme mal zweiteres an.
Du kannst ja jede Permutation in [mm] $S_n$ [/mm] als Produkt von Transpositionen schreiben.
Und du kannst dir ueberlegen, dass du jede Transposition $(i, j)$ mit $i < j$ schreiben kannst als Produkt von Transpositionen $(i, i+1)$, ..., $(j-1, j)$. (Wie das genau geht: denk mal etwas drueber nach...)
> Ich verstehe das so, dass ich eventuell nur folgende
> Verknüpfungen brauche:
>
> [mm]\sigma^i\circ\tau^j\circ...=\pmat{ 1 & 2 &3&4&5&6&7\\ 2 & 1 & 3 & 4 &5&6&7}[/mm]
Ob es solche $i$ und $j$ gibt ist mir spontan nicht klar.
Beachte, dass [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] nicht kommentieren. Damit kannst du nicht jedes Element in [mm] $\langle \sigma, \tau \rangle$ [/mm] in der Form [mm] $\sigma^i \tau^j$ [/mm] darstellen.
> usw., bis ich alle Elemente der speziellen Transpositionen
> gefunden habe.
Ja, aber halt nicht in dieser speziellen Form, sondern allgemeiner.
Schau dir doch mal [mm] $\sigma^i \tau \sigma^{-i} [/mm] = [mm] \sigma^i \tau \sigma^{7-i}$ [/mm] an. Welche Permutationen erhaelst du damit?
LG Felix
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