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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:06 Mo 09.07.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Sei [mm] $\{X_t\}, t\in [0,\infty)$ [/mm] eine Familie von Zufallsvariablen. Dann definiere ich die [mm] $\sigma$-Algebra $\sigma (X):=\sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})$. [/mm] Wieso gilt folgendes:
[mm] \sigma (X) = \sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/mm]
Das $J$ ist also eine endliche Teilmenge von [mm] $[0,\infty)$
[/mm]
Danke und Gruss
nicolas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Physicus,
> Hallo zusammen
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> Sei [mm]\{X_t\}, t\in [0,\infty)[/mm] eine Familie von
> Zufallsvariablen. Dann definiere ich die [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\sigma (X):=\sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/mm].
> Wieso gilt folgendes:
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> [mm]\sigma (X) = \sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/mm]
>
> Das [mm]J[/mm] ist also eine endliche Teilmenge von [mm][0,\infty)[/mm]
wieso das genau gilt, kann ich Dir nicht sagen, weil ich es nicht nachgerechnet habe. Aber Deiner Frage entnehme ich, dass Dir nicht ganz klar ist, was eigentlich zu zeigen wäre:
zu zeigen ist, dass sowohl einerseits
[mm] $$\sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}) \subseteq \sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}) [/mm] $$
als auch andererseits
[mm] $$\sigma (\{\bigcap_{j\in J}X^{-1}_j(B_j);J\subset [0,\infty), |J|\in \mathbb{N},B_j\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}) \subseteq \sigma (\{X^{-1}_t(B);t\in [0,\infty), B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})$$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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