Euklidischer Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm] (\IZ[i], [/mm] N) ein euklidischer Ring ist mit [mm] \IZ[i]:=\{x+yi:x,y \in \IZ\}, i^{2} [/mm] = -1 und N(w*t)=N(w)*N(t) sowie [mm] N(w)=x^{2}+y^{2} [/mm] für w=x+yi. |
Ich schaffe es nicht die Division mit Rest zu finden, also dass für zwei beliebige Elemente a,b [mm] \in \IZ[i]-\{0\} [/mm] q,r [mm] \in \IZ[i] [/mm] existieren, so dass a=qb+r.
Ich habe jetzt schon auf X-Seiten hin und her gerechnet aber schaffe es nicht, dass die Faktoren aus [mm] \IZ [/mm] sind.
Wie kann man denn da am besten vorgehen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hippias |
Da gibt es einen guten Trick: Waehle [mm] $\phi:= \alpha+i\beta\in \→Q[i]$ [/mm] mit $a= [mm] \phi [/mm] b$ und seien [mm] $x,y\in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $|\alpha-x|, |\beta-y|\leq \frac{1}{2}$ [/mm] gilt. Mit $q:= x+iy$ und $r:= a-bq$ sollte es gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Hi und danke für die schnelle Antwort :)
Ähnliches habe ich auch schon auf anderen Seiten gelesen.
Zunächst mal: Was hindert mich eigentlich daran a=1*b+0 zu setzen? r muss nicht ungleich 0 sein und b ist immer ungleich 0 gemäß Definition. Dann ist N(0)<N(b). Was spricht denn da dagegen?
Du definierst Dir nun eine Zahl [mm] \phi:=\alpha+i\beta, [/mm] so dass [mm] a=\phi*b.
[/mm]
Und es ist auch nicht schwer zu zeigen, dass es solche x und solche y in [mm] \IZ [/mm] gibt. Soweit so gut. Aber was bringt dir dieses Wissen bzw. wie kommst du denn nun darauf, dass q und r genau so aussehen müssen. Das ist der Schritt, der anscheinen selbstverständlich ist, ich ihn aber nicht verstehe.
Bzw. wenn ich b*(x+iy) + a - b(x+iy) ausrechne kommt doch genau a heraus, egal wie ich x und y gewählt habe. Das fällt ja sowieso alles weg..
Ich wäre sehr dankbar, wenn Du darauf nochmal eingehen könntest :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Hi und danke für die schnelle Antwort :)
>
> Ähnliches habe ich auch schon auf anderen Seiten gelesen.
>
> Zunächst mal: Was hindert mich eigentlich daran a=1*b+0 zu
> setzen? r muss nicht ungleich 0 sein und b ist immer
> ungleich 0 gemäß Definition. Dann ist N(0)<N(b). Was
> spricht denn da dagegen?
Du musst es Dir so vorstellen: Jemand legt legt dir irgend zwei Zahlen [mm] $a,b\in \IZ[i]$ [/mm] vor; z.B. $a= 10-7i$ und $b= -4-2i$. Dann ist Deine Aufgabe Zahlen [mm] $q,r\in \IZ[i]$ [/mm] anzugeben, die die Bedingungen $a= qb+r$ und $N(r)< N(b)$ erfuellen. $q=1$ und $r=0$ geht einzig in dem Fall, dass $a= b$ ist!
Hier jedoch ist [mm] $\phi= -\frac{13}{10}+i\frac{12}{5}$. [/mm] Damit ergibt sich $q= -1+2i$ und $r= a-qb= 2-i$: Beide Bedingungen sich erfuellt, wieman leicht nachprueft und ich mich nicht verrechnet habe.
>
> Du definierst Dir nun eine Zahl [mm]\phi:=\alpha+i\beta,[/mm] so
> dass [mm]a=\phi*b.[/mm]
> Und es ist auch nicht schwer zu zeigen, dass es solche x
> und solche y in [mm]\IZ[/mm] gibt. Soweit so gut. Aber was bringt
> dir dieses Wissen bzw. wie kommst du denn nun darauf, dass
> q und r genau so aussehen müssen.
Ich komme nicht drauf, sondern ich lege $q$ und $r$ so fest. Und das mache ich deshalb, weil dann die obigen 2 Bedingungen erfuellt sind. Wie man darauf kommt $q$ und $r$ so zu konstruieren, ist mathematische Intuition, oder in meinem Fall Erinnerung an ein Buch, in dem ich das gesehen habe.
Dass jedoch das obige $q$ und $r$ stets die beiden Bedingungen tatsaechlich erfuellen, musst Du erst noch nachrechnen und ueberpruefen.
> Das ist der Schritt, der
> anscheinen selbstverständlich ist, ich ihn aber nicht
> verstehe.
Ich glaube nicht, dass der Schritt selbstverstaendlich ist, sondern vielleicht sogar die Hauptarbeit beinhaltet.
>
> Bzw. wenn ich b*(x+iy) + a - b(x+iy) ausrechne kommt doch
> genau a heraus, egal wie ich x und y gewählt habe. Das
> fällt ja sowieso alles weg..
Das verstehe ich nicht.
>
> Ich wäre sehr dankbar, wenn Du darauf nochmal eingehen
> könntest :)
Ich hoffe das konnte ich, sonst frage nocheinmal. Als allgemeiner Tip: Beweise immer selbst versuchen, auch wenn es anfangs sehr schwer faellt. Mit der Zeit entwickelt man ein Gespuer und ein Repertoire an Tricks, das einem aus dem Groebsten heraushilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Danke, das hat mir wirklich sehr geholfen.
Wenn man q:=x+yi und r:=a-bq setzt dann ist ja bq+r=b(x+yi)+a-b(x+yi)=a, also ist die erste Bedingung erfüllt. Jetzt muss ich noch zeigen, dass N(a-b(x+yi))<N(b) bzw. dass x und y für alle a,b existieren, so dass diese Ungleichung erfüllt ist. Ich weiß, dass N(b) >= 1 ist, da [mm] b\not=0 [/mm] und aus [mm] \IZ [/mm] laut Voraussetzung. Also muss ich zeigen, dass für alle a,b [mm] \in \IZ[i] [/mm] x und y existieren, so dass N(a-b(x+yi))<1. Ja, und hier hört es erstmal auf :) Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Do 26.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Danke, das hat mir wirklich sehr geholfen.
> Wenn man q:=x+yi und r:=a-bq setzt dann ist ja
> bq+r=b(x+yi)+a-b(x+yi)=a, also ist die erste Bedingung
> erfüllt. Jetzt muss ich noch zeigen, dass
> N(a-b(x+yi))<N(b) bzw. dass x und y für alle a,b
> existieren, so dass diese Ungleichung erfüllt ist.
Achtung: Es gibt nicht $x$ und $y$, die fuer alle $a$ und $b$ simultan das Gewuenschte liefern, sondern zu jedem Paerchen $a$ und $b$ gibt es (von $a$ und $b$ abhaengige) $x$ und $y$ mit den geforderten Eigenschaften. Aber sonst stimmt das so wie Du sagst.
> Ich
> weiß, dass N(b) >= 1 ist, da [mm]b\not=0[/mm] und aus [mm]\IZ[/mm] laut
> Voraussetzung. Also muss ich zeigen, dass für alle a,b [mm]\in \IZ[i][/mm] [/i][/mm]
> [/mm]x und y existieren, so dass N(a-b(x+yi))<1.[/mn]
Jetzt hast Du die Existenzbehauptung richtig formuliert. Aber: $N(a-b(x+yi))<1$ wird nicht gelingen, bzw. dies waere aequivalent zu $r=0$. Du wirst Dich mit der schwaecheren Abschaetzung $N(a-b(x+yi))< N(b)$ begnuegen muessen.
Versuche $x$ und $y$ ueber das [mm] $\phi$ [/mm] zu bestimmen, bzw. rechne nach, dass wenn man es so macht wie ich es beschrieben habe, dass dann die beiden Bedingungen erfuellt sind.
Man denkt oft, man muesse eine "Formel" fuer $x$ und $y$ angeben, aber das isr nicht gefordert: Es genuegt die Konstruktion zu beschreiben und nachzurechnen, dass dann die Bedingungen erfuellt sind.
> Ja, und hier [/mm]
> [mm][i]hört es erstmal auf :) Stimmt das soweit? [/i][/mm]
Vielleicht noch ein Wort zum Ansatz: Wenn $a=bq+r$ ist, dann heisst das ja ungefaehr soviel wie "$a$ geteilt durch $b$ ist ungefaehr $q$". Der geneue Wert ist aber [mm] $\phi$, [/mm] deswegen ist es sinnvoll als $q$ eine Zahl aus [mm] $\IZ[i]$ [/mm] zu waehlen, die moeglichst nah an [mm] $\phi$ [/mm] liegt so wie beschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Do 26.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Vielen Dank. Ich habe den Beweis nun verstanden, jedoch wäre ich da niemals selber drauf gekommen :)
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