Euklidischer Ring Z[sqrt(-2)] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Zeige: [mm]\IZ[\sqrt{-2}] := \{a+b\sqrt{-2}| a,b \in \IZ\}[/mm] ist ein Euklidischer Ring. |
Hallo,
ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber mir fällt es schwer zu erkennen wie ich die Beweisstruktur machen muss.
Ich weiß dass:
R ist ein euklidischer Ring, wenn eine Abbildung [mm]f:R \backslash \{0\} \to \IN_0[/mm] existiert mit:
Zu a,b [mm] \in \IR [/mm] mit b [mm] \not= [/mm] 0 existieren Elemente q,r [mm] \in \IR [/mm] mit [mm]a=q*b+r[/mm], wobei r=0 oder [mm]f(r)
Sprich es gibt eine Abbildung, die die Division mit Rest definiert.
Ich weiß nun aber nicht was ich zeigen soll um die Aussage zu beweisen.
Hoffe mir kann jemand helfen!
Gruß Lyrn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 10.01.2011 | | Autor: | statler |
> Zeige: [mm]\IZ[\sqrt{-2}] := \{a+b\sqrt{-2}| a,b \in \IZ\}[/mm] ist
> ein Euklidischer Ring.
Hallo!
> ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber mir
> fällt es schwer zu erkennen wie ich die Beweisstruktur
> machen muss.
>
> Ich weiß dass:
>
> R ist ein euklidischer Ring, wenn eine Abbildung [mm]f:R \backslash \{0\} \to \IN_0[/mm]
> existiert mit:
> Zu a,b [mm]\in [/mm]R mit b [mm]\not=[/mm] 0 existieren Elemente q,r [mm]\in \IR[/mm]
> mit [mm]a=q*b+r[/mm], wobei r=0 oder [mm]f(r)
>
> Sprich es gibt eine Abbildung, die die Division mit Rest
> definiert.
>
> Ich weiß nun aber nicht was ich zeigen soll um die Aussage
> zu beweisen.
Naja, du mußt dazu zeigen, daß es für den in Rede stehenden Ring so ein f gibt, d. h. du mußt dir so ein f definieren. Und dann mußt du zeigen, daß es für a und b solche q und r gibt. Für das f würde ich es zunächst mit der Norm versuchen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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