Euklidischer Ring zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl.
Zeige: [mm] $\IZ[\frac{1}{p}]:=\{\frac{a}{p^{n}}|a\in\IZ, n\in\IN_{0}\}$ [/mm] ist ein euklidischer Ring. |
Hallo!
Ich habe schon gezeigt, dass es sich um einen komm. nullteilerfreien Ring mit 1 handelt (als Unterkörper von [mm] \IQ [/mm] mit denselben Verknüpfungen und der Abgeschlossenheit).
Wie aber genau muss ich meine Grad / Normabbildung wählen, damit ich zeigen kann, dass es sich um einen euklidischen Ring handelt?
Ich muss die Abbildung ja eher für vollständig gekürzte [mm] \frac{a}{p^{n}} [/mm] definieren, sonst ist sie wahrscheinlich nicht wohldefiniert.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Sei p eine Primzahl.
> Zeige: [mm]\IZ[\frac{1}{p}]:=\{\frac{a}{p^{n}}|a\in\IZ, n\in\IN_{0}\}[/mm]
> ist ein euklidischer Ring.
>
> Ich habe schon gezeigt, dass es sich um einen komm.
> nullteilerfreien Ring mit 1 handelt (als Unterkörper von
> [mm]\IQ[/mm] mit denselben Verknüpfungen und der
> Abgeschlossenheit).
Ich muss sagen, ich bin etwas ueberrascht dass der Ring euklidisch ist. Ich hab noch nie drueber nachgedacht, aber haette spontan nicht damit gerechnet. Aber wenn ich jetzt etwas weiter drueber nachdenke macht es doch Sinn :)
> Wie aber genau muss ich meine Grad / Normabbildung wählen,
> damit ich zeigen kann, dass es sich um einen euklidischen
> Ring handelt?
> Ich muss die Abbildung ja eher für vollständig gekürzte
> [mm]\frac{a}{p^{n}}[/mm] definieren, sonst ist sie wahrscheinlich
> nicht wohldefiniert.
Ich wuerde spontan [mm] $d(\frac{a}{p^n}) [/mm] := |a|$ waehlen. Da $p$ eine Einheit ist (und ebenso alle $p$-Potenzen), wird man $p$ beim Dividieren ja gut los. Insofern duerfte das Problem eher der Rest sein. Und beim Betrag in [mm] $\IZ$ [/mm] wird man ja auch gerade die Einheiten los, insofern kann man gucken ob es dieses $d$ tut, da es alle Einheiten, naemlich [mm] $\pm p^n$, [/mm] $n [mm] \in \IZ$, [/mm] rauswirft.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 05.07.2010 | | Autor: | skoopa |
HeyHey!
Ist [mm] \IZ[\bruch{1}{p}] [/mm] wirklich ein Unterkörper von [mm] \IQ?
[/mm]
Weil für p=3 gilt doch [mm] 2^{-1}\not\in \IZ[\bruch{1}{3}]. [/mm] Also kann es doch kein Körper und also auch kein Unterkörper von [mm] \IQ [/mm] sein.
Oder sehe ich da was falsch?
Falls ich das nicht tue, muss man tatsächlich die geforderten Eigenschaften nachrechnen, oder vererben die sich "trivialerweise" von [mm] \IZ [/mm] ?
LG
skoopa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin skoopa,
> Ist [mm]\IZ[\bruch{1}{p}][/mm] wirklich ein Unterkörper von [mm]\IQ?[/mm]
nein, es ist ein Unterring. Und ich denke, das meinte Stefan auch :) In einem Koerper kann man einfach $d(x) = 0$ fuer alle $x$ definieren, dann kann man immer $a = [mm] (b^{-1} [/mm] a) b + 0$ schreiben fuer $a, b [mm] \in [/mm] K$, $b [mm] \neq [/mm] 0$.
> Weil für p=3 gilt doch [mm]2^{-1}\not\in \IZ[\bruch{1}{3}].[/mm]
> Also kann es doch kein Körper und also auch kein
> Unterkörper von [mm]\IQ[/mm] sein.
> Oder sehe ich da was falsch?
Tust du nicht.
> Falls ich das nicht tue, muss man tatsächlich die
> geforderten Eigenschaften nachrechnen, oder vererben die
> sich "trivialerweise" von [mm]\IZ[/mm] ?
Nunja, haengt davon ab was man unter "trivial" versteht 
Normalerweise muss man sowas schon nachrechnen. Aber ich denke, bei eukidischen Ringen $R$ mit Quotientenkoerper $K$ kann man auch gleich allgemein zeigen: ist $S$ ein Unterring von $Q$ mit $R [mm] \subseteq [/mm] S$, so ist $S$ euklidisch. (Es ist aber schon wichtig, dass $S$ ein Unterring von $Q$ ist und nicht einfach irgendein Oberring von $R$.)
LG Felix
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