Euklidischer Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (V, [mm] $\langle \cdot, \cdot \rangle)$ [/mm] ein Euklidischer Vektorraum und | [mm] $\cdot$ [/mm] | die durch |x| = [mm] $\wurzel{\langle x, x \rangle} [/mm] definierte Norm. Zeigen Sie:
1. Satz des Thales: $|x| = |y| [mm] \Leftrightarrow [/mm] (x - y) [mm] \perp [/mm] (x + y)$,
2. Parallelogrammgleichung: $|x + [mm] y|^2 [/mm] + |x - [mm] y|^2 [/mm] = [mm] 2|x|^2 [/mm] + [mm] 2|y|^2$, [/mm]
3. [mm] $\langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \bruch{|x+y|^2 - |x-y|^2}{4}$ [/mm] |
wie mache ich das?
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| Aufgabe | | Sei [mm] $|\cdot |_\infty: \IR^n \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $|(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n)^t|_\infty [/mm] := [mm] \max\{|x_i| : i = 1, . . . , n\}$. [/mm] Zeigen Sie mit Hilfe der ersten Aufgabe, dass diese Norm nicht durch ein Skalarprodukt induziert wird. D.h. es gibt kein Skalarprodukt [mm] $\langle \cdot, \cdot \rangle_\infty$ [/mm] mit [mm] $|x|_\infty [/mm] = [mm] \wurzel{\langle x, x \rangle_\infty}$. [/mm] |
wie geht das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 24.04.2007 | | Autor: | komduck |
Für n = 1 ist die Aussage falsch.
Wir können sie nur für n [mm] \ge [/mm] 2 beweisen.
Wir müssen nur 2 Vektoren finden, sodaß die Parallelogrammgleichung
nicht gilt. z.B (1,0,0,0...) und (0,1,0,0...) wenn wir die
Vektoren so wählen, dass nur die erste und zweite Komponente
ungleich Null ist, dann haben wir nur n [mm] \ge [/mm] 2 verwendet.
komduck
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Di 24.04.2007 | | Autor: | komduck |
Du ersetzt [mm] |x|^2 [/mm] durch durch die Definition <x,x> und dann verwendest
du die Bilinearität von <x,y>.
Im Fall 2.Parallelogrammgleichung sieht das so aus:
|x + [mm] y|^2 [/mm] + |x - [mm] y|^2 [/mm] = <x+y,x+y> + <x-y,x-y>
= <x,x> + <x,y> + <y,x> + <y,y> + <x,x> - <x,y> - <y,x> + <y,y>
= 2<x,x> + 2<y,y>
= [mm] 2|x|^2 [/mm] + [mm] 2|y|^2
[/mm]
mfg komduck
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