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| Aufgabe | Erweitern Sie den Substitutionsansatz (siehe Vorlesung) [mm] t=e^s, [/mm] x(t)=u(s) auf Euler-Gleichungen der Ordnung 4, um eine lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten zu erhalten.
[mm] t^4x^{(4)}+a_3t^3x```+a_2t^2x``+a_1tx`+a_0x=g(t) [/mm] |
[mm] t=e^s
[/mm]
[mm] u(s)=x(t)=x(e^s)
[/mm]
[mm] u'(s)=x'(e^s)e^s=tx'
[/mm]
[mm] u''(s)=x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^2x''+tx'
[/mm]
[mm] u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)+x'(e^s)e^s=t^3x'''+3t^2x''+tx'
[/mm]
[mm] u''''(s)=x''''(e^s)e^{4s}+6e^{3s}x'''(e^s)+4x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^4x^{(4)}+6t^3x'''+4t^2x''+tx'
[/mm]
sind die ableitungen richtig?
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Hallo arbeitsamt,
> Erweitern Sie den Substitutionsansatz (siehe Vorlesung)
> [mm]t=e^s,[/mm] x(t)=u(s) auf Euler-Gleichungen der Ordnung 4, um
> eine lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten zu
> erhalten.
>
> [mm]t^4x^{(4)}+a_3t^3x'''+a_2t^2x''+a_1tx'+a_0x=g(t)[/mm]
> [mm]t=e^s[/mm]
>
> [mm]u(s)=x(t)=x(e^s)[/mm]
>
> [mm]u'(s)=x'(e^s)e^s=tx'[/mm]
>
> [mm]u''(s)=x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^2x''+tx'[/mm]
>
> [mm]u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)+x'(e^s)e^s=t^3x'''+3t^2x''+tx'[/mm]
>
> [mm]u''''(s)=x''''(e^s)e^{4s}+6e^{3s}x'''(e^s)+4x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s=t^4x^{(4)}+6t^3x'''+4t^2x''+tx'[/mm]
>
> sind die ableitungen richtig?
Die ersten 3 Ableitungen sind richtig.
Die 4. Ableitung musst Du nochmal nachrechnen.
Der Faktor vor x'' stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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hallo,
ist die 3 ableitung richtig? ich habe da nämlich einen tippfehler
es sollte eigentlich heißen:
[mm] u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)[red]e^{2s}[/red]+x'(e^s)e^s
[/mm]
[mm] =x'''(e^s)e^{3s}+3x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s
[/mm]
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
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> ist die 3 ableitung richtig? ich habe da nämlich einen
> tippfehler
>
> es sollte eigentlich heißen:
>
> [mm]u'''(s)=x'''(e^s)e^{3s}+2x''(e^s)e^{2s}+x''(e^s)[red]e^{2s}[/red]+x'(e^s)e^s[/mm]
>
> [mm]=x'''(e^s)e^{3s}+3x''(e^s)e^{2s}+x'(e^s)e^s[/mm]
>
Ich habe nur das Endergebnis kontrolliert
und die 3. Ableitung ist richtig.
Gruss
MathePower
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ich komme letztendlich auf:
[mm] g(t)=u^{(4)}+u'''(a_3-6)+u''(11-3a_3+a_2)+u'(-6+3a_3-a_2+a_1)+a_0U=g(t)
[/mm]
ich habe noch eine allgemeine frage:
im skript wird eine euler-dgl der 3 ordnung [mm] 0=t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x [/mm] mit folgender formel in eine dgl mit konstanten koeffizienten umgewandelt:
[mm] 0=u'''+(a_2-3)u''+(a_1-a_2+2)u'+a_0u
[/mm]
meine frage: was ist, wenn vor der höchsten ableitung, hier x''', ein Koeffizient [mm] a_3 [/mm] steht? also:
[mm] 0=a_3*t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x
[/mm]
die könnte ich dann nicht mehr der formel oben umwandeln. ist das überhaupt dann eine euler dgl?
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Hallo arbeitsamt,
> ich komme letztendlich auf:
>
> [mm]g(t)=u^{(4)}+u'''(a_3-6)+u''(11-3a_3+a_2)+u'(-6+3a_3-a_2+a_1)+a_0U=g(t)[/mm]
>
Der Koeffizient bei u' muß [mm]-6+\blue{2}a_{3}-a_{2}+a_{1}[/mm] lauten.
> ich habe noch eine allgemeine frage:
>
> im skript wird eine euler-dgl der 3 ordnung
> [mm]0=t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x[/mm] mit folgender formel in
> eine dgl mit konstanten koeffizienten umgewandelt:
>
>
> [mm]0=u'''+(a_2-3)u''+(a_1-a_2+2)u'+a_0u[/mm]
>
> meine frage: was ist, wenn vor der höchsten ableitung,
> hier x''', ein Koeffizient [mm]a_3[/mm] steht? also:
>
Dividiere dann durch diesen Koeffizienten.
> [mm]0=a_3*t^3x'''+a_2*t^2x''+a_1*tx'+a_0x[/mm]
>
> die könnte ich dann nicht mehr der formel oben umwandeln.
> ist das überhaupt dann eine euler dgl?
Gruss
MathePower
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