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| Aufgabe | | Welche Kurve macht das Funktional [mm]\int_{-0}^{1}(y'^2 + y^2)\, dx [/mm] mit [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y(1)=1[/mm] zum Minimum? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe obige Aufgabe soweit durchgerechnet, das ich nachdem ich die Eulersche Gleichung hatte auf [mm]y-y''=0[/mm] gekommen bin.
Meine Erste Frage ist jetzt, ob das überhaupt stimmt und dann meine zweite Frage, welche Ansatzfunktion muss ich nehmen, um die DGL zu lösen?
Ich habs mit [mm]y(x)=A\cdot\sin x +B\cdot \cos x[/mm] probiert, aber da kommt nur Kappes raus.
Steh echt grad auf dem Schlauch und es wäre schön, wenn mir jemand hier helfen könnte.
Danke & Gruß
Thorsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Thorsten!
Herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Welche Kurve macht das Funktional [mm]\int_{-0}^{1}(y'^2 + y^2)\, dx[/mm]
> mit [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y(1)=1[/mm] zum Minimum?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe obige Aufgabe soweit durchgerechnet, das ich
> nachdem ich die Eulersche Gleichung hatte auf [mm]y-y''=0[/mm]
> gekommen bin.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine Erste Frage ist jetzt, ob das überhaupt stimmt und
> dann meine zweite Frage, welche Ansatzfunktion muss ich
> nehmen, um die DGL zu lösen?
> Ich habs mit [mm]y(x)=A\cdot\sin x +B\cdot \cos x[/mm] probiert,
> aber da kommt nur Kappes raus.
Das ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, da führt immer der Ansatz [mm]\mathrm{e}^{\lambda x}[/mm] zum Ziel. Daraus ergeben sich zwei mögliche Werte von [mm]\lambda[/mm], nämlich [mm]\lambda=\pm1[/mm], also ist
[mm] y(x) = A\mathrm{e}^x+B\mathrm{e}^{-x}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für die Antwort, damit komme ich sogar auf das gesuchte Ergebnis. War zwar eine Höllenmäßige Rechnerei, aber naja...
Was ich noch nicht so ganz verstehe ist, wo der Unterschied zu einer Aufgabe liegt die ich vorher gerechnet habe.
Die sah im großen und ganzen ähnlich aus. Da hatte ich:
[mm]y+y''= 0 [/mm] und habe den erwähnten Ansatz von [mm]y(x)=A\cdot\sin x +B\cdot \cos x[/mm] genommen und bin auf das Ergebnis gekommen.
Ich versteh nicht so ganz, wieso ein kleines Plus-/oder Minuszeichen mir so dermaßen die Welt schwer machen kann und den passenden Ansatz versaut.
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Hallo,
das liegt daran, dass das Polynom zu y'' + y = 0 keine reellen Nullstellen hat, sondern nur komplexe, hier [mm] \pm [/mm] i. (denn [mm] x^{2} [/mm] + 1 [mm] \gdw x_{1,2} [/mm] = [mm] \wurzel{-1}). [/mm] Daraus würde für die Lösung der DGL folgen [mm] y_{1} [/mm] = [mm] e^{ix} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] = [mm] e^{-ix}, [/mm] wobei gilt [mm] e^{ix} \gdw [/mm] cosx und [mm] e^{-ix} \gdw [/mm] sinx.
Grüße, Steffen
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