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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Euler-Lagrange-Gleichung
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Euler-Lagrange-Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mo 18.10.2010
Autor: james_brown

Aufgabe
Wir betrachten das Funktional [mm] $\mathbb{F}(u)$:=$\int_a^b\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}dx$ [/mm] auf der Klasse [mm] $C^2([a,b],M)$, [/mm] wobei [mm] $\omega\in C^2([a,b]\timesm,R_+)$ [/mm] eine Funktion mit positiven Werten und [mm] $m\subset\mathbb{R}$ [/mm] ein (uneigentliches) Intervall bezeichnen.

Wie lautet somit die Lagrange-Funktion $F(x,z,p)$ zu [mm] $\mathbb{F}$? [/mm] Man zeige, dass die Euler-Lagrange-Gleichung folgendermaßen aussieht:
[mm] $\kappa(x)\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}=w_z(x,u(x))(1+u'(x)^2)-\omega_x(x,u(x))u'(x)$, [/mm] wobei [mm] $\kappa(x):=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}$ [/mm] die mittlere Krümmung des Graphen von u darstellt.

Hallo zusammen.

Die Lagrange-Funktion sollte ja folgende sein:
[mm] $F(x,z,p)=\omega(x,z)\sqrt{1+p^2}$. [/mm]
Die Euler-Lagrange-Gleichung berechnet man folgendermaßen:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}F_p(x,z,p)=F_z(x,z,p)$. [/mm]
Also habe ich zuerst die Ableitungen berechnet.

[mm] $F_p=\omega(x,z)\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=\omega(x,u)\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}$. [/mm]
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}=\ldots=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}=\kappa(x)$. [/mm]
Folglich gilt: [mm] $\frac{\partial}{\partial x}F_p(x,z,p)=[\omega_x+\omega_zu']\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}+\omega\kappa. [/mm]
[mm] $F_z=\omega_z\sqrt{1+(u')^2}$. [/mm]

Die ELG lautet somit:
[mm] $\omega_z\sqrt{1+(u')^2}=[\omega_x+\omega_zu']\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}+\omega\kappa [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \omega_z(1+(u')^2)=\omega\kappa\sqrt{1+(u')^2}+[\omega_x+\omega_zu']u' [/mm]  
[mm] \Leftrightarrow \omega_z-w_xu'=\omega\kappa\sqrt{1+(u')^2}$. [/mm]

Sieht hier jemand meinen Fehler? Es ist ja fast wie in der Lösung, es fehlt "nur" der Term [mm] $\omega_z(u')^2$. [/mm]
Über Hilfe freue ich mich sehr.


        
Bezug
Euler-Lagrange-Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Mo 18.10.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Wir betrachten das Funktional
> [mm]\mathbb{F}(u)[/mm]:=[mm]\int_a^b\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}dx[/mm] auf
> der Klasse [mm]C^2([a,b],M)[/mm], wobei [mm]\omega\in C^2([a,b]\timesm,R_+)[/mm]
> eine Funktion mit positiven Werten und [mm]m\subset\mathbb{R}[/mm]
> ein (uneigentliches) Intervall bezeichnen.
>  
> Wie lautet somit die Lagrange-Funktion [mm]F(x,z,p)[/mm] zu
> [mm]\mathbb{F}[/mm]? Man zeige, dass die Euler-Lagrange-Gleichung
> folgendermaßen aussieht:
>  
> [mm]\kappa(x)\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}=w_z(x,u(x))(1+u'(x)^2)-\omega_x(x,u(x))u'(x)[/mm],
> wobei [mm]\kappa(x):=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}[/mm] die
> mittlere Krümmung des Graphen von u darstellt.
>  Hallo zusammen.
>  
> Die Lagrange-Funktion sollte ja folgende sein:
> [mm]F(x,z,p)=\omega(x,z)\sqrt{1+p^2}[/mm].
>  Die Euler-Lagrange-Gleichung berechnet man
> folgendermaßen:
>  [mm]\frac{\partial}{\partial x}F_p(x,z,p)=F_z(x,z,p)[/mm].
>  Also
> habe ich zuerst die Ableitungen berechnet.
>  
> [mm]F_p=\omega(x,z)\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=\omega(x,u)\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}[/mm].
>  [mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}=\ldots=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}=\kappa(x)[/mm].

Das kann nicht stimmen:

[mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{u'}{\sqrt{1+u'^2}} = \bruch{u''\sqrt{1+u'^2} - u'\bruch{u'}{\sqrt{1+(u')^2}} }{1+u'^2} = \bruch{u''(1+u'^2) - u'^2}{(1+u'^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]

Viele Grüße
   Rainer

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