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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Di 31.01.2012 | | Autor: | imzadi |
Hallo,
ich versuche seit geraumer Zeit zu zeigen ,dass es eine C existiert mit C:=lim (Hn-ln n),n gegen unendlich, Hn n-te Partialsumme der Harm.Reihe.
Laut Hinweis musste ich erstmal zeigen: [mm] e^x [/mm] > 1+x für alle x außer 0,habe ich gezeigt. Als nächstes muss ich zeigen:
1/(x+1)< ln ((x+1)/x ) < 1/x für x > 0,und dies klappt bei mir nicht. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Außerdem verstehe ich ehrlich gesagt noch nicht ganz ,wie mir das beim Beweis weiterhelfen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Seiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Di 31.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi imzadi,
aus der Folgendarstellung von e, überlegt man sich [mm] (1+\bruch{1}{k})^k
Mit Hilfe des Hinweises schätzt man [mm] a_k:=\bruch{1}{k}-\ln(\bruch{k+1}{k}) [/mm] geeignet nach oben ab, so dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] konvergiert. Dann überlegt man, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k=(H_n-\ln n)-\ln\bruch{n+1}{n} [/mm] gilt und da man gezeigt hat die linke Seite (für [mm] n\to\infty) [/mm] konvergiert und [mm] \ln\bruch{n+1}{n} [/mm] auch, muß auch der Mittelteil konvergieren.
LG walde
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