Euler DGL inhomogen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Di 02.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo,
ich bin dabei folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] x^2*\bruch{d^2x}{dt^2}+t*\bruch{dx}{dt}-x=3t^2
[/mm]
Mein Ansatz war der folgende:
[mm] x=e^t u(t)=y(e^t)
[/mm]
u'(t)=x*y'(x)
[mm] u"(t)=x^2*y"(x)+x*y'(x)=x^2*y"(x)+u'(t)
[/mm]
[mm] x^2*y"(x)=u"(t)-u'(t)
[/mm]
Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert:
(u" - [mm] u')+u'-u=3*e^t*e^t
[/mm]
I zunächst den homogenen Teil lösen:
u"-u=0
[mm] p^2-1=0
[/mm]
[mm] p_{1}=1 \Rightarrow c_{1}*e^t [/mm]
[mm] p_{2}=-1 \Rightarrow c_{1}*e^{-t}
[/mm]
[mm] u_{h}=c_{1}*e^t [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-t}
[/mm]
Den partikulären Teil lösen
[mm] y_{p}=A*e^{2t}
[/mm]
[mm] y'_{p}=2A*e^{2t}
[/mm]
[mm] y''_{p}=4A*e^{2t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 4A*e^{2t}-Ae^{2t}=3*e^{2t}
[/mm]
3A=3
A=1
[mm] y_{p}=e^{2t}
[/mm]
[mm] y=y_{h}+y_{p}= c_{1}*e^t [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-t}+ e^{2t}
[/mm]
Wenn ich das ganze zwei mal ableite und in die Ausgangsgleichung einsetze bekomme ich folgendes:
[mm] -\bruch{c_2}{x} -x^2
[/mm]
und dass stimmt nicht mit [mm] 3x^2 [/mm] überein.
Ich hoffe und bitte um eure Hilfe
Gruss Kuba
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 Di 02.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> ich bin dabei folgende Aufgabe zu lösen:
> [mm]x^2*\bruch{d^2x}{dt^2}+t*\bruch{dx}{dt}-x=3t^2[/mm]
Steht da wirklich [mm] $x^2$ [/mm] vor der zweiten Ableitung? Wenn ja, dann stimmt deine Rechnung nicht. Ich nehme mal an, du meinst
[mm] t^2*\bruch{d^2x}{dt^2}+t*\bruch{dx}{dt}-x=3t^2[/mm]
> Mein Ansatz war der folgende:
>
> [mm]x=e^t u(t)=y(e^t)[/mm]
Hier bringst du die Variablen durcheinander: in der DGL wird nach x(t) gesucht, dann wird bei dir aus x die unabhängige Variable.
> u'(t)=x*y'(x)
> [mm]u"(t)=x^2*y"(x)+x*y'(x)=x^2*y"(x)+u'(t)[/mm]
> [mm]x^2*y"(x)=u"(t)-u'(t)[/mm]
>
> Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert:
> (u" - [mm]u')+u'-u=3*e^t*e^t[/mm]
>
> I zunächst den homogenen Teil lösen:
>
> u"-u=0
> [mm]p^2-1=0[/mm]
>
> [mm]p_{1}=1 \Rightarrow c_{1}*e^t[/mm]
>
> [mm]p_{2}=-1 \Rightarrow c_{1}*e^{-t}[/mm]
>
> [mm]u_{h}=c_{1}*e^t[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-t}[/mm]
>
> Den partikulären Teil lösen
>
> [mm]y_{p}=A*e^{2t}[/mm]
> [mm]y'_{p}=2A*e^{2t}[/mm]
> [mm]y''_{p}=4A*e^{2t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 4A*e^{2t}-Ae^{2t}=3*e^{2t}[/mm]
> 3A=3
> A=1
>
> [mm]y_{p}=e^{2t}[/mm]
>
> [mm]y=y_{h}+y_{p}= c_{1}*e^t + c_{2}*e^{-t}+ e^{2t}[/mm]
Bis auf das Durcheinander mit den Variablen stimmt's, die Lösung ist
[mm] x(t) = c_1t+\bruch{c_2}{t} +t^2 [/mm]
> Wenn ich das ganze zwei mal ableite und in die
> Ausgangsgleichung einsetze bekomme ich folgendes:
>
> [mm]-\bruch{c_2}{x} -x^2[/mm]
>
> und dass stimmt nicht mit [mm]3x^2[/mm] überein.
Poste mal deine Rechnung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Di 02.03.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo Reiner,
ja die Gleichung lautete:
[mm] t^2*\bruch{dx}{dt^2} [/mm] + [mm] t*\bruch{dx}{dt} [/mm] -x = [mm] 3*t^2
[/mm]
Also ich habe genauso wie du folgende Gleichung erhalten:
[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2
[/mm]
Das habe ich dann abgeleitet:
[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2
[/mm]
[mm] x'(t)=c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t
[mm] x"(t)=\bruch{c_2}{t^3} [/mm] +2
eingesetzt
[mm] t^2*(\bruch{c_{2}}{t^3} [/mm] +2) + [mm] t*(c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t) -( [mm] c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2)
[/mm]
= [mm] (\bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2*t^2) [/mm] + [mm] (t*c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2t^2) [/mm] - [mm] c_{1}*t [/mm] - [mm] \bruch{c_{2}}{t} [/mm] - [mm] t^2
[/mm]
[mm] =3t^2- \bruch{c_2}{t}
[/mm]
Wenn jetzt [mm] c_2 [/mm] Null wäre, dann würde die Lösung stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Di 02.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine zweite Ableitung ist falsch. [mm] t^{-2} [/mm] abgeleitet ist [mm] -2*t^{-3} [/mm] bei dir fehlt die 2
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 02.03.2010 | | Autor: | kuba |
Die Lösung ist
[mm] t^2*\bruch{dx}{dt^2} [/mm] + [mm] t*\bruch{dx}{dt} [/mm] -x = [mm] 3*t^2 [/mm]
Also ich habe genauso wie du folgende Gleichung erhalten:
[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2 [/mm]
Das habe ich dann abgeleitet:
[mm] x(x)=c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2 [/mm]
[mm] x'(t)=c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t
[mm] x"(t)=2\bruch{c_2}{t^3} [/mm] +2
eingesetzt
[mm] t^2*(\bruch{c_{2}}{t^3} [/mm] +2) + [mm] t*(c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t^2} [/mm] + 2t) -( [mm] c_{1}t [/mm] + [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] t^2) [/mm]
= [mm] (2\bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2*t^2) [/mm] + [mm] (t*c_1 [/mm] - [mm] \bruch{c_2}{t} [/mm] + [mm] 2t^2) [/mm] - [mm] c_{1}*t [/mm] - [mm] \bruch{c_{2}}{t} [/mm] - [mm] t^2 [/mm]
[mm] =3t^2
[/mm]
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