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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Morin |
| Aufgabe | Folgende Funktion ist gegeben:
H(s)*H(-s) = [mm] \bruch{1}{1+C^{2}*(\bruch{s}{i*\omega})^{2*n}}
[/mm]
mit [mm] s=\sigma+i*\omega
[/mm]
Die Pole sind für eine Grenzfrequenz [mm] \omega [/mm] einer Konstanten C und für den gegebenen Grad n gesucht! |
Wie wird die oben gegebene Gleichung nach s umgeformt damit ich die Nullstellen berechnen kann?
Starte mit dem Ansatz:
[mm] 1+C^{2}*(\bruch{s}{i*\omega})^{2*n}=0
[/mm]
Im Skriptum steht als Ergebnis:
[mm] s=\bruch{\omega}{\wurzel[n]{C}}*e^{i*[1+(1+2*k)/n]*\bruch{2}{\pi}} [/mm] für k = 0, 1, .... , 2*n-1
Mir ist klar, dass "rein" imaginäre Zahlen wie z=i die Form:
[mm] z=r*e^{(k+1/2)*\pi*i} [/mm] für k = [mm] \IZ
[/mm]
haben, doch auf das obige Ergebnis komme ich nicht.
Wäre nett, wenn mir jemand einen Tip für denn Rechenweg geben könnte.
Danke und Gruß
Morin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \bruch{1}{1+C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}} [/mm] $
[mm] -\bruch{(i\omega)^{2n}}{C^2}=s^{2n}
[/mm]
jetzt [mm] i^{2n}=-1 [/mm] du ziehst die 2nte Wurzel aus der linken Seite un berechnetst di 2n te Wurzel aus 1 in dem du weisst :
[mm] 1=e^{i*(2\pi+k*2\pi} [/mm] der letzte Faktor in deinem Exponenten der Lösung ist nicht [mm] 2/\pi [/mm] sondern [mm] 2*\pi.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 07.01.2010 | | Autor: | Morin |
Hallo leduart, danke für Antwort, aber meine Frage war, wie die folgende Formel nach s umgeformt wird und zum unten angegebenen Ergebnis führt:
$ [mm] 1+C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}=0 [/mm] $
Im Skriptum steht als Ergebnis (Korrektur von meiner ersten Frage):
[mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] anstelle von [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] !!
Korrigiertes Ergebnis aus dem Skript:
$ [mm] s=\bruch{\omega}{\wurzel[n]{C}}\cdot{}e^{i\cdot{}[1+(1+2\cdot{}k)/n]\cdot{}\bruch{\pi}{2}} [/mm] $ für k = 0, 1, .... , 2*n-1
Wie komme ich zu diesem Ergebnis?
Deine Antwort verstehe ich nicht.
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Du schreibst:
jetzt $ [mm] i^{2n}=-1 [/mm] $ du ziehst die 2nte Wurzel aus der linken Seite un berechnetst di 2n te Wurzel aus 1 in dem du weisst :
$ [mm] 1=e^{i\cdot{}(2\pi+k\cdot{}2\pi} [/mm] $ der letzte Faktor in deinem Exponenten der Lösung ist nicht $ [mm] 2/\pi [/mm] $ sondern $ [mm] 2\cdot{}\pi. [/mm] $
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Was meinst du mit dieser Antwort?
Danke und Gruß
Morin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] 1+C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}=0 [/mm] $
[mm] $-1=C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}$ |:C^2, *(i\omega)^{2n}
[/mm]
[mm] $-1*\bruch{i^{2n}*\omega^{2n}}{C^2}=s^{2n}$
[/mm]
[mm] jetzt:$i=e^{i(\pi/2+k*2\pi)} [/mm] $ ;
[mm] $i^{2n}= e^{i(\pi/2+k*2\pi)*2n} =e^{i*n*\pi+2in*k*2\pi}$; $-1=e^{i\pi}$; $-1*i^{2n}=...$
[/mm]
einsetzen:
[mm] $s^{2n}=\bruch{\omega^{2n}}{C^2}*e^{i*(n*\pi+\pi+2n*k*2\pi)}$
[/mm]
Kannst du jetzt alle Exponenten durch 2n teilen, also die 2n-te Wurzel ziehen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 07.01.2010 | | Autor: | Morin |
Hallo leduart!
Habe deine Antwort nochmals angeführt:
Das habe ich auch:
$ [mm] 1+C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}=0 [/mm] $
$ [mm] -1=C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n} [/mm] $ $ [mm] |:C^2, \cdot{}(i\omega)^{2n} [/mm] $
$ [mm] -1\cdot{}\bruch{i^{2n}\cdot{}\omega^{2n}}{C^2}=s^{2n} [/mm] $
das habe ich nicht:
$ [mm] i=e^{i\pi/2+k\cdot{}2\pi} [/mm] $
Ich kenne:
$ [mm] i=e^{i\pi*(k+1/2)} [/mm] $
weiters ist dann:
$ [mm] i^{2*n}=e^{(i\pi*(k+1/2))*2*n} [/mm] $
wenn ich nun die 2n-te Wurzel ziehe folgt:
$ [mm] \wurzel[2n]{-1}\cdot{}\bruch{i\cdot{}\omega}{\wurzel[2n]{C^2}}=s [/mm] $
außerdem ist:
[mm] \wurzel[2n]{-1}={-1^\bruch{1}{2n}}={{(-1^\bruch{1}{2})}^{\bruch{1}{n}}}=i^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
und
[mm] i^{\bruch{1}{n}}=e^{(i\pi*(k+1/2))*{\bruch{1}{n}}}
[/mm]
somit ergibt sich für mich:
$ [mm] \wurzel[2n]{-1}\cdot{}\bruch{i\cdot{}\omega}{\wurzel[2n]{C^2}}=e^{(i\pi*(k+1/2))*{\bruch{1}{n}}}*e^{i\pi\cdot{}(k+1/2)}* \bruch{\omega}{\wurzel[2n]{C^2}}=s [/mm] $
Die im Skript angeführte Lösung finde ich nicht!
Danke für deine Unterstützung.
Gruß
Morin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Do 07.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo leduart!
>
> Habe deine Antwort nochmals angeführt:
>
> Das habe ich auch:
>
> [mm]1+C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}=0[/mm]
> [mm]-1=C^{2}\cdot{}(\bruch{s}{i\cdot{}\omega})^{2\cdot{}n}[/mm]
> [mm]|:C^2, \cdot{}(i\omega)^{2n}[/mm]
>
> [mm]-1\cdot{}\bruch{i^{2n}\cdot{}\omega^{2n}}{C^2}=s^{2n}[/mm]
>
> das habe ich nicht:
>
> [mm]i=e^{i\pi/2+k\cdot{}2\pi}[/mm]
Da hat leduart die Klammer vergessen: [mm]i=e^{i(\pi/2+k\cdot{}2\pi)}[/mm]
>
> Ich kenne:
> [mm]i=e^{i\pi*(k+1/2)}[/mm]
Das ist falsch, denn [mm] $e^{i\pi*(k+1/2)} [/mm] = [mm] (-1)^k*i [/mm] $
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2 Exponenten bei dir addieren, die Lösung auf dieselbe Form bringen, das IST das Gleiche nur verschieden kompliziert geschrieben.
vereinfacht ist der Exponent von e: [mm] i*(\pi/n+k/n)
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 So 10.01.2010 | | Autor: | Morin |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo leduart und Rainer,
habe nun die Lösung:
Es ist wie bereits geschrieben:
$ \wurzel[2n]{-1}={-1^\bruch{1}{2n}}={{(-1^\bruch{1}{2})}^{\bruch{1}{n}}}=i^{\bruch{1}{n}} $
und
$ i^{\bruch{1}{n}}=e^{(i\pi\cdot{}(k+1/2))\cdot{}{\bruch{1}{n}}} $
weiters ist
$ i^{1}=e^{\bruch{i\pi}{2}}} $
somit ist:
$ \wurzel[2n]{-1}\cdot{}\bruch{i\cdot{}\omega}{\wurzel[2n]{C^2}}=e^{(i\pi\cdot{}(k+1/2))\cdot{}{\bruch{1}{n}}}\cdot{}e^{\bruch{i\pi}{2}}}\cdot{} \bruch{\omega}{\wurzel[2n]{C^2}}=s $
und das entspricht dem Erbgebnis aus dem Skript:
$ s=\bruch{\omega}{\wurzel[n]{C}}\cdot{}e^{i\cdot{}[1+(1+2\cdot{}k)/n]\cdot{}\bruch{\pi}{2}} $
Besten Dank für eure Unterstützung
Morin
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