Eulersche Beziehung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mi 08.04.2009 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | Eine Funktion f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] heisst homogen vom Grad k,falls [mm] f(\lambda\cdot{}x)= \lambda^kf(x) [/mm] für alle [mm] \lambda>0 [/mm] und [mm] x\in\IR^n. [/mm] Zeige: ist f [mm] \in C^1 (\IR^n) [/mm] eine homogene Funktion vom Grad k,so gilt die Eulersche Beziehung
<gradf(x),x> = kf(x), [mm] x\in\IR^n [/mm] |
Wir haben gerade erst mit der Differentialrechnung in [mm] \IR^n [/mm] angefangen. Ich bin aber noch nicht sehr sicher auf diesem Gebiet und wäre drum froh,wenn mir jemand ein paar Tipps gibt,wie ich diese Aufgabe angehen soll.Wir haben übrigens noch den Hinweis erhalten, dass wir für festes x [mm] \in \IR^n [/mm] die Ableitung von [mm] \lambda \mapsto f(\lambda*x) [/mm] an der Stelle [mm] \lambda [/mm] = 1 berechnen sollen.
Liebe Grüsse und Besten Dank
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Hallo studi08,
> Eine Funktion f: [mm]\IR^n \to \IR[/mm] heisst homogen vom Grad
> k,falls [mm]f(\lambda\cdot{}x)= \lambda^kf(x)[/mm] für alle
> [mm]\lambda>0[/mm] und [mm]x\in\IR^n.[/mm] Zeige: ist f [mm]\in C^1 (\IR^n)[/mm] eine
> homogene Funktion vom Grad k,so gilt die Eulersche
> Beziehung
> <gradf(x),x> = kf(x), [mm]x\in\IR^n[/mm]
> Wir haben gerade erst mit der Differentialrechnung in
> [mm]\IR^n[/mm] angefangen. Ich bin aber noch nicht sehr sicher auf
> diesem Gebiet und wäre drum froh,wenn mir jemand ein paar
> Tipps gibt,wie ich diese Aufgabe angehen soll.Wir haben
> übrigens noch den Hinweis erhalten, dass wir für festes x
> [mm]\in \IR^n[/mm] die Ableitung von [mm]\lambda \mapsto f(\lambda*x)[/mm] an
> der Stelle [mm]\lambda[/mm] = 1 berechnen sollen.
Wende links die Kettenregel und rechts die Potenzregel an.
>
> Liebe Grüsse und Besten Dank
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 08.04.2009 | | Autor: | studi08 |
Vielen Dank für deinen Tipp, Mathe-Power.Wie die rechte Seite mit der Potenzenregel berechnen soll seh ich schon aber ich versteh noch nicht,wie ich die Kettenregeln auf <gradf(x),x> anwenden kann. Kann mir da jemand weiter helfen?
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Hallo studi08,
> Vielen Dank für deinen Tipp, Mathe-Power.Wie die rechte
> Seite mit der Potenzenregel berechnen soll seh ich schon
> aber ich versteh noch nicht,wie ich die Kettenregeln auf
> <gradf(x),x> anwenden kann. Kann mir da jemand weiter
> helfen?
Die Kettenregel ist auf [mm]f\left(\lambda*x\right)[/mm] anzuwenden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 08.04.2009 | | Autor: | studi08 |
Ich weiss ja,dass $ [mm] f\left(\lambda\cdot{}x\right) [/mm] $ = [mm] \lambda^k*f(x) [/mm] ist. Ich seh aber noch immer nicht ganz genau wie ich jetzt die Kettenregel anwenden soll.
Gibt es jetzt in diesem Fall [mm] \lambda^{k-1}*f(x)*f'(x) [/mm] oder wie sieht das aus?
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Hallo studi08,
> Ich weiss ja,dass [mm]f\left(\lambda\cdot{}x\right)[/mm] =
> [mm]\lambda^k*f(x)[/mm] ist. Ich seh aber noch immer nicht ganz
> genau wie ich jetzt die Kettenregel anwenden soll.
> Gibt es jetzt in diesem Fall [mm]\lambda^{k-1}*f(x)*f'(x)[/mm] oder
> wie sieht das aus?
Wir haben
[mm]f\left(\lambda x\right)=\lambda^{k}*f\left(x\right)[/mm]
Beide Seiten nach [mm]\lambda[/mm] abgeleitet:
[mm]\bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right)=\bruch{d}{d\lambda} \left( \ \lambda^{k}*f\left(x\right) \ \right)[/mm]
[mm]\gdw \bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right)=k* \lambda^{k-1}*f\left(x\right)[/mm]
Und auf der linken Seite wendest Du jetzt die Kettenregel an.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 08.04.2009 | | Autor: | studi08 |
Ganz herzlichen Dank für deine Ausführungen!Ich versteh aber noch immer nicht ganz genau,wie ich die Kettenregel nun auf das [mm] \bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right) [/mm] anwenden kann.Die Kettenregel lautet ja D(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=Dg(f(x))D(f(x)). In unserem Fall haben wir ja nur eine Funktion,nämlich eben die Ableitung nach [mm] d\lambda [/mm] von der Funktion [mm] \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right). [/mm] Wie geht also dieser Schritt konkret?
Sorry,sind für dich sicher triviale Fragen,aber ich hab momentan einfach noch nicht den Durchblick.
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Hallo studi08,
> Ganz herzlichen Dank für deine Ausführungen!Ich versteh
> aber noch immer nicht ganz genau,wie ich die Kettenregel
> nun auf das [mm]\bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right)[/mm]
> anwenden kann.Die Kettenregel lautet ja D(g [mm]\circ[/mm]
> f)(x)=Dg(f(x))D(f(x)). In unserem Fall haben wir ja nur
> eine Funktion,nämlich eben die Ableitung nach [mm]d\lambda[/mm] von
> der Funktion [mm]\left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right).[/mm]
> Wie geht also dieser Schritt konkret?
Definiere [mm]u\left(\lambda\right)=\lambda*x[/mm]
Dann ist
[mm]\bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right) = \bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left( \ u \left(\lambda\right) \ \right) \ \right)=\bruch{df}{du} \bruch{du}{d\lambda}[/mm]
> Sorry,sind für dich sicher triviale Fragen,aber ich hab
> momentan einfach noch nicht den Durchblick.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo studi,
> Ganz herzlichen Dank für deine Ausführungen!Ich versteh
> aber noch immer nicht ganz genau,wie ich die Kettenregel
> nun auf das [mm]\bruch{d}{d\lambda} \left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right)[/mm]
> anwenden kann.Die Kettenregel lautet ja D(g [mm]\circ[/mm]
> f)(x)=Dg(f(x))D(f(x)). In unserem Fall haben wir ja nur
> eine Funktion,nämlich eben die Ableitung nach [mm]d\lambda[/mm] von
> der Funktion [mm]\left( \ f\left(\lambda x\right) \ \right).[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mathepower hat Dir ja schon eine vernünftige Antwort geschrieben, aber zur Demonstration:
Setze $g(\lambda)=\lambda*x=\vektor{\lambda x_1\\\lambda x_2\\.\\.\\.\\\lambda x_n}$. Dann ist $f(\lambda*x)=(f \circ g)(\lambda)\,.$
Somit erkennst Du
$$(\star)\;\;\;Df(\blue{x})=\Big(\frac{\partial f(\blue{x})}{\partial x_1},\,\frac{\partial f(\blue{x})}{\partial x_2},\,...,\,\frac{\partial f(\blue{x})}{\partial x_n}\Big)=\text{grad}^T f(\blue{x})\,$$
und
$$\frac{d}{d \lambda}g(\lambda*x)=x\,.$$
(Hierbei ist $\text{grad}$ als Spaltenvektor und $\text{grad}^T$ als zugehöriger transponierter Vektor folglich als Zeilenvektor aufzufassen.)
Was ist folglich
$$Df(\green{g(x)})\;\left.\frac{dg(x)}{d\lambda}\right|_{\lambda=1}\;\;\text{?}$$
(P.S.: Um $Df(g(x))$ anzugeben, hast Du einfach nur in $(\star)$ jedes $\blue{x}$ durch $\green{g(x)}$ zu ersetzen. Beachte dabei, dass $\left.g(x)\right|_{\lambda=1}=x$ ist.)
Beachte dabei, dass nach der Kettenregel
$$\frac{d}{d\lambda} (f \circ g)(\lambda)=Df(g(\lambda))\;\frac{dg(\lambda)}{d\lambda}$$
gilt.
Gruß,
Marcel
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