Eulersche Gl. linearisieren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]I_1w_1'=(I_2-I_3)w_2w_3\quad I_2w_2'=(I_3-I_1)w_3w_1\quad I_3w_3'=(I_1-I_2)w_1w_2[/mm]
Die Bewegungsgleichungen sind nichtlinear und können nur in Spezialfällen analytisch
gelöst werden. Interessante qualitative Eigenschaften, wie z.B. die Stabilität der Rotation
um Hauptachsen, sind aber durch geeignete Approximationen erhältlich. Linearisieren
Sie hierzu die Bewegungsgleichungen mit dem Ansatz w(t) = [mm] \vektor{w_0\\0\\0} +\vektor{\epsilon_x(t)\\ \epsilon y(t)\\ \epsilon_z(t))} [/mm] in der kleinen Störung [mm] \epsilon(t); |\epsilon(t)|<< [/mm] [mm] w_0. [/mm] |
Hallo!
Wie ist das gemeint mit dem Ansatz...normal linearisiere ich mit Taylor Entwicklung um Null. Wenn ich den ganzen Ansatz in das System einsetze wird die DGL ja nicht wirklich einfacher. Sollte ich nur [mm] \vektor{w_0\\0\\0} [/mm] einsetzen?
Gruß und Danke im Voraus,
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mi 12.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> [mm]I_1w_1'=(I_2-I_3)w_2w_3\quad I_2w_2'=(I_3-I_1)w_3w_1\quad I_3w_3'=(I_1-I_2)w_1w_2[/mm]
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> Die Bewegungsgleichungen sind nichtlinear und können nur
> in Spezialfällen analytisch
> gelöst werden. Interessante qualitative Eigenschaften,
> wie z.B. die Stabilität der Rotation
> um Hauptachsen, sind aber durch geeignete Approximationen
> erhältlich. Linearisieren
> Sie hierzu die Bewegungsgleichungen mit dem Ansatz w(t) =
> [mm]\vektor{w_0\\0\\0} +\vektor{\epsilon_x(t)\\ \epsilon y(t)\\ \epsilon_z(t))}[/mm]
> in der kleinen Störung [mm]\epsilon(t); |\epsilon(t)|<<[/mm]
> [mm]w_0.[/mm]
> Hallo!
>
> Wie ist das gemeint mit dem Ansatz...normal linearisiere
> ich mit Taylor Entwicklung um Null.
Nicht immer um Null, aber um einen festen Punkt. Linearisierung bedeutet, dass du dann alle nichtlinearen Terme weglässt.
> Wenn ich den ganzen
> Ansatz in das System einsetze wird die DGL ja nicht
> wirklich einfacher. Sollte ich nur [mm]\vektor{w_0\\0\\0}[/mm]
> einsetzen?
Nein, [mm]\vektor{w_0\\0\\0}[/mm] ist dein Entwicklungspunkt. Deine zu entwickelnde Funktion ist $w(t)$, also eine Funktion vom [mm] $\IR^3$ [/mm] in den [mm] $\IR^3$. [/mm]
Praktisch bedeutet das, du setzt $w(t)$ ein und lässt alle nicht linearen Terme weg.
Viele Grüße
Rainer
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Danke dir!
> >
> > Wie ist das gemeint mit dem Ansatz...normal linearisiere
> > ich mit Taylor Entwicklung um Null.
>
> Nicht immer um Null, aber um einen festen Punkt.
> Linearisierung bedeutet, dass du dann alle nichtlinearen
> Terme weglässt.
>
Ja so habe ich das gemeint.....hatte bis jetzt halt immer Null als Entwicklungspunkt aber muss natürlich nicht sein!
>
> Praktisch bedeutet das, du setzt [mm]w(t)[/mm] ein und lässt alle
> nicht linearen Terme weg.
Achso geht das in diesem Fall.....
>
> Viele Grüße
> Rainer
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