Eulersche Phi-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Do 03.09.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] die Euler-Funktion. Zeigen Sie:
[mm] \phi(m) \* \phi(n) [/mm] = [mm] \phi(ggT(m,n)) \* \phi(kgV(m,n)) [/mm] |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Es ist nicht näher angegeben, ob m und n natürliche oder ganze Zahlen sein sollen. Wir wissen zwar, dass [mm] \phi [/mm] multiplikativ ist, aber ja leider nicht vollständig multiplikativ, d.h. m und n müssen teilerfremd sein, damit mans auseinanderziehen kann.
Wie kann ich hier dennoch zu einem Ergebnis kommen?
Vielen Dank schon mal für Eure Hilfe.
Gruß Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni
> Sei [mm]\phi[/mm] die Euler-Funktion. Zeigen Sie:
>
> [mm]\phi(m) \* \phi(n)[/mm] = [mm]\phi(ggT(m,n)) \* \phi(kgV(m,n))[/mm]
Kennst du die Formel [mm] $\phi(n) [/mm] = [mm] \frac{n}{\prod_{p \mid n} (p - 1)}$, [/mm] wobei das Produkt ueber alle Primteiler von $n$ geht?
Da $m n = ggT(m, n) kgV(m, n)$ gilt musst du dir also die Primteiler anschauen.
Mache dazu eine Fallunterscheidung:
1) $p [mm] \mid [/mm] m$, $p [mm] \mid [/mm] n$
2) $p [mm] \mid [/mm] m$, $p [mm] \nmid [/mm] n$
3) $p [mm] \nmid [/mm] m$, $p [mm] \mid [/mm] n$
4) $p [mm] \nmid [/mm] m$, $p [mm] \nmid [/mm] n$
Fuer jeden Fall schau dir an, wie oft der Faktor [mm] $\frac{1}{p - 1}$ [/mm] auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung auftaucht.
LG Felix
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