Eulersche Zahl (konvergenz) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Di 14.04.2009 | | Autor: | pittster |
Hallo!
Ich habe mich gerade mit der eulerschen Zahl beschäftigt. Ich hoffe, dass es hier nicht zu sehr off-topic wird weil es an Allgemeinheit des Folgenbegriffs mangelt. Seid mir diesbezüglich bitte nicht böse.
Die eulersche Zahl lässt sich ja mit den Folgen [mm] $a_n$ [/mm] := [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] := [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}$ [/mm] ermitteln.
Im Intervall [mm] $I_n [/mm] := [mm] [a_n,b_n]$ [/mm] ist sie dann die einzige Zahl, die in jedem [mm] $I_n$ [/mm] vorkommt weil a monoton ansteigend und b monoton fallend ist.
(bis hierhin richtig??)
Nun stelle ich mir die Frage, wieso a monoton steigt, wenn b monoton fällt. Wie kann man das erklären?
lg, Dennis
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Hallo pittster,
> Die eulersche Zahl lässt sich ja mit den Folgen [mm]$a_n$[/mm] :=
> [mm]$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] und [mm]$b_n$[/mm] :=
> [mm]$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}$[/mm] ermitteln.
Ja.
> Im Intervall [mm]I_n := [a_n,b_n][/mm] ist sie dann die einzige
> Zahl, die in jedem [mm]I_n[/mm] vorkommt weil a monoton ansteigend
> und b monoton fallend ist.
Ein bisschen kraus formuliert, aber im Prinzip richtig. Irreführend ist, dass Du das eine (genau bestimmte) Intervall [mm] I_n [/mm] nennst und die weiteren dann genauso bezeichnest. Besser wäre, dann [mm] I_m [/mm] mit m>n als Bezeichnung zu nehmen.
Jedenfalls ist e der Grenzwert beider Folgen und erfüllt daher die von Dir skizzierte Bedingung.
> (bis hierhin richtig??)
(siehe oben)
> Nun stelle ich mir die Frage, wieso a monoton steigt, wenn
> b monoton fällt. Wie kann man das erklären?
Mir ist nicht klar, worauf die Frage zielt. Willst Du wissen, wie man zeigen kann, dass [mm] a_n [/mm] streng monoton steigend und [mm] b_n [/mm] streng monoton fallend ist?
Hier eine kurze Skizze für [mm] a_n.
[/mm]
Du musst zeigen, dass [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}>1 [/mm] ist, z.B. so:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n}=\bruch{n+2}{n+1}*\left(\bruch{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)*\left(\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)*\left(\bruch{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}\right)^n=
[/mm]
[mm] =\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^n\red{>}1
[/mm]
Das rot markierte "größer als" ist nun allerdings erst zu zeigen. Multiplizieren wir die Ungleichung mit [mm] \left(1-\bruch{1}{n+1}\right):
[/mm]
[mm] \left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^n\red{>}\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)
[/mm]
[mm] \left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\red{>}\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)
[/mm]
Das ist nun recht leicht über die binomische Entwicklung der linken Seite zu zeigen.
Aber war das eigentlich, was Du wissen wolltest?
> lg, Dennis
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo pittster,
>
> > Die eulersche Zahl lässt sich ja mit den Folgen [mm]$a_n$[/mm] :=
> > [mm]$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm] und [mm]$b_n$[/mm] :=
> > [mm]$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}$[/mm] ermitteln.
>
> Ja.
>
> > Im Intervall [mm]I_n := [a_n,b_n][/mm] ist sie dann die einzige
> > Zahl, die in jedem [mm]I_n[/mm] vorkommt weil a monoton ansteigend
> > und b monoton fallend ist.
>
> Ein bisschen kraus formuliert, aber im Prinzip richtig.
> Irreführend ist, dass Du das eine (genau bestimmte)
> Intervall [mm]I_n[/mm] nennst und die weiteren dann genauso
> bezeichnest. Besser wäre, dann [mm]I_m[/mm] mit m>n als Bezeichnung
> zu nehmen.
> Jedenfalls ist e der Grenzwert beider Folgen und erfüllt
> daher die von Dir skizzierte Bedingung.
>
> > (bis hierhin richtig??)
> (siehe oben)
>
> > Nun stelle ich mir die Frage, wieso a monoton steigt, wenn
> > b monoton fällt. Wie kann man das erklären?
>
> Mir ist nicht klar, worauf die Frage zielt. Willst Du
> wissen, wie man zeigen kann, dass [mm]a_n[/mm] streng monoton
> steigend und [mm]b_n[/mm] streng monoton fallend ist?
>
> Hier eine kurze Skizze für [mm]a_n.[/mm]
>
> Du musst zeigen, dass [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}>1[/mm] ist, z.B. so:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n}=\bruch{n+2}{n+1}*\left(\bruch{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)*\left(\bruch{n^2+2n}{(n+1)^2}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)*\left(\bruch{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}\right)^n=[/mm]
>
> [mm]=\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^n\red{>}1[/mm]
>
> Das rot markierte "größer als" ist nun allerdings erst zu
> zeigen. Multiplizieren wir die Ungleichung mit
> [mm]\left(1-\bruch{1}{n+1}\right):[/mm]
>
> [mm]\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^n\red{>}\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)[/mm]
>
> [mm]\left(1-\bruch{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\red{>}\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)[/mm]
>
> Das ist nun recht leicht über die binomische Entwicklung
> der linken Seite zu zeigen.
Hallo reverend,
Noch einfacher gehts mit der Bernoullischen Ungleichung
FRED
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> Aber war das eigentlich, was Du wissen wolltest?
>
> > lg, Dennis
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 14.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
danke für den Hinweis.
Ich suchte nur einen Weg, ohne Bernoulli zu arbeiten - der hilft ja für die Folge [mm] b_n [/mm] nicht mehr weiter.
Grüße
reverend
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Für [mm]n \geq 2[/mm] gilt:
[mm]\frac{b_{n-1}}{b_n} = \frac{\left( \frac{n}{n-1} \right)^n}{\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+1}} = \frac{\left( n^2 \right)^n}{\left( n^2 - 1 \right)^n} \cdot \frac{n}{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n \cdot \frac{n}{n+1}[/mm]
[mm]> \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n \cdot \frac{n}{n+1} > \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \frac{n}{n+1} = 1[/mm]
Beim letzten Größerzeichen wurde Bernoulli angewendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mi 15.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Leopold,
danke für den Hinweis. Das habe ich übersehen.
Grüße
reverend
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