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Forum "Zahlentheorie" - Eulersche phi-Fkt und Fermat
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Eulersche phi-Fkt und Fermat: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Fr 11.07.2008
Autor: Torboe

Aufgabe 1
1:
mit phi sind die teilerfremden zahlen zu der in klammer gemeint.
a) phi(165240)=3
b) phi(184000)=3

Aufgabe 2
2.
berechne:
a) 3^1000 mod 7
b) 3^999999999 mod 7

1.
ist das = 3 ein Schreibfehler?? so stands nämlich dran... aber macht ja kein Sinn oder??
a) [mm] phi((2^3)*(3^5)*5*17) [/mm] = 165240 * (1-1/2) * (1-1/3) * (1-1/5)
=44064

b) phi = 184000 * (1-1/2)*(1-1/5)*(1-1/23)
=70460

2.

a) [mm] 3^6 [/mm] = 1 mod 7
[mm] ((3^6)^ 166)*(3^4)=1mod7 [/mm]
also folgt: (3^1000) = 13 mod 7 = 6 mod 7

b) [mm] ((3^6)^ 999999999)*(3^3)=1mod7 [/mm]
also folgt: = 9 mod7 = 2 mod7

danke shconmal!!
        
Bezug
Eulersche phi-Fkt und Fermat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Sa 12.07.2008
Autor: MathePower

Hallo Torboe,

> 1:
>  mit phi sind die teilerfremden zahlen zu der in klammer
> gemeint.
>  a) phi(165240)=3
>  b) phi(184000)=3
>  2.
>  berechne:
>  a) 3^1000 mod 7
>  b) 3^999999999 mod 7
>  
> 1.
>  ist das = 3 ein Schreibfehler?? so stands nämlich dran...
> aber macht ja kein Sinn oder??


Hier ist in der Tat was faul.


>  a) [mm]phi((2^3)*(3^5)*5*17)[/mm] = 165240 * (1-1/2) * (1-1/3) *
> (1-1/5)
>  =44064


Hier ist der Faktor [mm]\left(1-\bruch{1}{17}\right)[/mm] verlorengegangen.

Deshalb muß hier stehen:


[mm]\varphi\left(2^{3}*3^{5}*5*17\right)=165240*\left(1-\bruch{1}{2}\right)*\left(1-\bruch{1}{3}\right)*\left(1-\bruch{1}{5}\right)*\left(1-\bruch{1}{17}\right)=41472[/mm]


>  
> b) phi = 184000 * (1-1/2)*(1-1/5)*(1-1/23)
>  =70460


Stimmt. [ok]


>  
> 2.
>  
> a) [mm]3^6[/mm] = 1 mod 7
>  [mm]((3^6)^ 166)*(3^4)=1mod7[/mm]


[mm]((3^6)^{166})*(3^4)=1 \ mod \ 7[/mm]


>  also folgt: (3^1000) = 13 mod 7
> = 6 mod 7


Stimmt. [ok]


>  
> b) [mm]((3^6)^ 999999999)*(3^3)=1mod7[/mm]


Da [mm]999999999 = 6*166666666+3[/mm] folgt:

[mm]3^{6}\equiv 1 \ mod \ 7 \Rightarrow \left(3^{6}\right)^{166666666} \equiv 1 \ mod \ 7[/mm]
[mm]\Rigtharrow 3^{999999996}*3^{3} \equiv 3^{3} \equiv 3^{3} \ mod \ 7 \equiv 2 \ mod \ 7[/mm]



>  also folgt: = 9 mod7 = 2
> mod7


Stimmt. [ok]


>  
> danke shconmal!!


Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Eulersche phi-Fkt und Fermat: danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Sa 12.07.2008
Autor: Torboe

ok! vielen dank!
Bezug
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