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Forum "Zahlentheorie" - Eulerscher Vier-Quadrate-Satz
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Eulerscher Vier-Quadrate-Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Fr 26.04.2013
Autor: Tine90

Aufgabe
Beweis des Vier-Quadrate-Satzes von Euler:
[mm] (x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)= &(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2\\&+(x_1y_2 -x_2y_1+x_3y_4 -x_4y_3)^2\\&+(x_1y_3-x_2y_4-x_3y_1+x_4y_2)^2\\&+(x_1y_4+x_2y_3-x_3y_2-x_4y_1)^2. [/mm]

Hallo =)
Ich soll diesen Satz beweisen und in der Literatur steht überall, dass man einfach nur ausmultiplizieren muss..Das klappt aber nciht.Könnt ihr mir helfen?
Lg Tine






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Eulerscher Vier-Quadrate-Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Fr 26.04.2013
Autor: Schadowmaster

moin,

die Formel stimmt und es stimmt auch, dass man es einfach ausmultiplizieren muss.
Wenn das nicht klappt dann erzähl doch mal was du machst und an welcher Stelle genau es schief geht, sonst wird es schwer dir zu helfen.


lg

Schadow
Bezug
                
Bezug
Eulerscher Vier-Quadrate-Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Fr 26.04.2013
Autor: Tine90

Aufgabe
[mm] (x_1y_1)^2+2(x_1y_1x_2y_2)+2(x_1y_1x_3y_3)+2(x_1y_1x_4y_4)+2(x_2y_2x_3y_3)+2(x_2y_2x_4y_4)+2(x_3y_3x_4y_4)+(x_2y_2)^2+(x_3y_3)^2+(x_4y_4)^2\\ [/mm]
[mm] (x_1y_2)^2+(x_2y_1)^2+(x_3y_4)^2+(x_4y_3)^2-2(x_1y_2x_2y_1)+2(x_1y_2x_3y_4)-2(x_1y_2x_3y_4)-2(x_2y_1x_3y_4)+2(x_2y_1x_4y_3)-2(x_3y_4x_4y_3)\\ [/mm]
[mm] +(x_1y_3)^2+(x_2y_4)^2+(x_3y_1)^2+(x_4y_2)^2-2(x_1y_3x_2y_4)-2(x_1y_3x_3y_1)+2(x_1y_3x_4y_2)+2(x_2y_4x_3y_1)-2(x_2y_4x_4y_2)-2(x_3y_1x_4y_2)\\ [/mm]
[mm] +(x_1y_4)^2+(x_2y_3)^2+(x_3y_2)^2+(x_4y_1)^2+2(x_1y_4x_2y_3)-2(x_1y_4x_3y_2)-2(x_1y_4x_4y_1)-2(x_2y_3x_3y_2)-2(x_2y_3x_4y_1)+2(x_3y_2x_4y_1) [/mm]

Wenn ich die rechte Seite ausmultipliziere, habe ich da einige negative Summanden, die sich nicht wegkürzen lassen und das würde der linken Seite widersprechen. Habe ich mich vllt verrechnet?
Danke schonmal ;-)
Bezug
                        
Bezug
Eulerscher Vier-Quadrate-Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Sa 27.04.2013
Autor: reverend

Hallo Tine,

*seufz*
Irgendjemand muss es ja tun... wo Du Dir schon soviel Schreibarbeit gemacht hast. ;-)

> [mm](x_1y_1)^2 2(x_1y_1x_2y_2) 2(x_1y_1x_3y_3) 2(x_1y_1x_4y_4) 2(x_2y_2x_3y_3) 2(x_2y_2x_4y_4) 2(x_3y_3x_4y_4) (x_2y_2)^2 (x_3y_3)^2 (x_4y_4)^2\\[/mm]

bis hier [ok]

> [mm](x_1y_2)^2+(x_2y_1)^2+(x_3y_4)^2+(x_4y_3)^2-2(x_1y_2x_2y_1)+2(x_1y_2x_3y_4)-2(x_1y_2x_3y_4)-2(x_2y_1x_3y_4)+2(x_2y_1x_4y_3)-2(x_3y_4x_4y_3)\\[/mm]

die Indices im dritten nichtquadratischen Term stimmen nicht [notok], und vor dem allerersten Quadrat vielleicht noch ein Plüsschen für die Schönheit...

> [mm] (x_1y_3)^2 (x_2y_4)^2 (x_3y_1)^2 (x_4y_2)^2-2(x_1y_3x_2y_4)-2(x_1y_3x_3y_1) 2(x_1y_3x_4y_2) 2(x_2y_4x_3y_1)-2(x_2y_4x_4y_2)-2(x_3y_1x_4y_2)\\[/mm]

sieht auch gut aus. [ok]

> [mm] (x_1y_4)^2 (x_2y_3)^2 (x_3y_2)^2 (x_4y_1)^2 2(x_1y_4x_2y_3)-2(x_1y_4x_3y_2)-2(x_1y_4x_4y_1)-2(x_2y_3x_3y_2)-2(x_2y_3x_4y_1) 2(x_3y_2x_4y_1)[/mm]

immer noch richtig. [ok]

> Wenn ich die rechte Seite ausmultipliziere, habe ich da
> einige negative Summanden, die sich nicht wegkürzen lassen
> und das würde der linken Seite widersprechen. Habe ich
> mich vllt verrechnet?

Nur an der einen Stelle. Und wenn Du das korrigierst, gehts auch auf.
Elende Rechnerei... :-)

Grüße
reverend
Bezug
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