Eulerverfahren < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Fr 12.03.2010 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | | Seien jeweils ein expli. Eulerverf. und ein impli. Eulerverf. gegeben. |
Kann jemand mit einer kleinen Beschreibung kurz klaeren, was genau der Unterschied zwischen beiden Verfahren ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Fr 12.03.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Also Einzelschrittverfahren sehen ja so aus:
Die Differenzialgleichung y'(x)=f(x,y) mit Anfangsbedingung [mm] y(a)=y_a [/mm] ist gegeben.
Du hast ein Gitter von Punkten an denen du die DGL auswerten willst.
Lass uns das [mm] x_0,\dots,x_n [/mm] nennen. Die Schrittweite [mm] h=(x_{i+1}-x_i) [/mm] ist hier äquidistant.
Dann gibt es eine Funktion [mm] \Phi, [/mm] so dass du eine Vorschrift für die Ermittlung der [mm] y_i [/mm] hast mit
[mm] y_{i+1}=y_i+\Phi(x,y)
[/mm]
Die Euler Verfahren benutzen die rechte Seite der DGL als Funktion [mm] \Phi.
[/mm]
Beim impliziten Verfahren wird f auf dem neuem Punkt [mm] x_{i+1} [/mm] ausgewertet, beim expliziten auf [mm] x_i.
[/mm]
Also:
explizit:
[mm] y_{i+1}=y_i+h*f(x_i,x_i)
[/mm]
implizit:
[mm] y_{i+1}=y_i+h*f(x_{i+1},y_{i+1})
[/mm]
Das ganze kannst du dir herleiten indem du [mm] y(x_i)' [/mm] mit der Approximation [mm] \frac{y_{i+1}-y_i}{h} [/mm] ersetzt und umstellst. Je nachdem an welcher Stelle du dann die rechte Seite auswertest ergibt sich dann das explizite oder implizite Verfahren.
Der Vorteil am implizite Verfahren ist, dass es im allgemeinen besser bezüglich Konsistenz und Stabilität ist. Der Nachteil ist dass [mm] y_{i+1} [/mm] links und im f vorkommt und du daher eine nichtlineare Gleichung lösen musst.
Schönen Gruß
Max
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