Eulid.Vektorraum, Bilinearform < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V$ eine [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] mit Basis $B = [mm] (B_1, \ldots, B_4)$. [/mm] Weiter sie [mm] $\Phi$ [/mm] die symmetrische Bilinearform auf $V$ mit
[mm] ${}_B\Phi^B [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$$
[/mm]
Ferner sei $U := [mm] \left \langle B_1, B_2 \right \rangle \leq [/mm] V$
(a) Zeigen Sie, dass $(V, [mm] \Phi)$ [/mm] ein Euklidischer Vektorraum ist.
(b) Geben Sie Orthonormalbasen von $U$ und [mm] $U^{\perp}$ [/mm] an.
(c) Geben Sie eine Choleskyzerlegung der Grammatrix [mm] ${}_B\Phi^B$ [/mm] an.
(d) Bestimmen Sie die beste Approximation von [mm] $B_1 [/mm] + [mm] B_3 [/mm] - [mm] 2B_4$ [/mm] an $U$
(e) Sei [mm] $\phi \in [/mm] End(V)$ mit
[mm] ${}_B \Phi^B [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & -2\\
0 & 2 & 0 &0 \\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & -1 & -1
\end{pmatrix}$$
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] $\phi^{ad}$. [/mm] Ist [mm] $\phi$ [/mm] normal bzw. selbstadjungiert?
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Hi,
Die Aufgabe findet sich auf unserem Blatt zur Klausurvorbereitung und wird leider nicht vorgerechnet werden. Ich habe bereits einige Ansätze, die aber zumidnest teilweise nicht das gewünschte Ergebnis liefern:
Zeigen Sie, dass $(V, [mm] \Phi)$ [/mm] ein Euklidischer Vektorraum ist.
Dazu ist ja zu zeigen:
[mm] $\Phi$ [/mm] ist bilinear
[mm] $\Phi$ [/mm] ist symmetrisch
[mm] $\Phi$ [/mm] ist positiv definit
Die ersten beiden Punkte sind bereits nach Aufgabenstellung erfüllt. d.h. es bleibt zu zeigen [mm] [u]$\Phi$ [/mm] ist positiv definit[/u]:
Mit symmetrischen Zeilen/Spaltenumformungen bringe ich [mm] ${}_B\Phi^B$ [/mm] auf die Form:
[mm] ${}_B\Phi^B [/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1& 0 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0& 1\\
0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$
[/mm]
Wegen [mm] $a_{i,i} \leq [/mm] 0$ für $i [mm] \in \{2,3\} \Rightarrow$ ${}_B\Phi^B$ [/mm] nicht positiv definit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(V, [mm] \Phi)$ [/mm] kein Euklidischer Vektorraum!
Ich vermute mal dass ich entweder ein falsches Verfahren angewandt hab oder mich verrechnet habe, denn eigentlich sollte man ja nachweisen das ein Euklid. Vektorraum vorliegt!
Geben Sie Orthonormalbasen von $U$ und [mm] $U^{\perp}$ [/mm] an.
Orthonormalbasen bestimmt man ja mit dem Verfahren von Gram und Schmidt. Dies ist soweit auch klar. Jedoch weiss ich an dieser Stelle nicht wie ich $U$ bestimme, bzw konkreter:
Wo lese ich die Basisvektoren: [mm] $B_1, B_2$ [/mm] ab? (1. und 2. Spalte der Matrix [mm] ${}_B\Phi^B$?)
[/mm]
Und auch mit Kenntnis dieser Basisvetkoren ist mir nicht klar war [mm] $U^{\perp}$ [/mm] ist.
Geben Sie eine Choleskyzerlegung der Grammatrix [mm] ${}_B\Phi^B$ [/mm] an.
Die Choleskyzerlung zu einer Matrix A liefert ja eine Matrix $X$ mit $A = [mm] X^{tr}X$. [/mm] Wobei $X$ unterhalb der Diagonalen nur 0'en als Einträge hat.
Also ist folgende Gleichung zu lösen:
[mm] $X^{tr}X [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}a & 0 & 0 & 0 \\
b & e & 0 & 0 \\
c & f & h & 0\\
d & g & i & j \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}a & b & c & d \\
0 & e & f & g \\
0 & 0 & h & i\\
0 & 0 & 0 & j \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Daraus habe ich jetzt (vielleicht etwas umständlich???) durch Lösen von 4*4 = 16 Gleichungen folgende Schlussfolgerungen gezogen:
$a=b=c=1, d=0$
Daraus wiederum folgte unmittelbar:
$e=1$ was $f=g=0$ implziert
Wegen f=0 folgte unmittelbar $h=i=j=1$
Damit ist die gesuchte Choleskyzerlgung:
X = [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Die Frage ist ob man das wirklich "manuell" durch Lösen der 16 Gleichungen macht, oder ob es da auch ein Verfahrung (Gauss etc.) gibt womit man die Choleskyzerlgung "nebenher" berechnen kann.
Bestimmen Sie die beste Approximation von [mm] $B_1 [/mm] + [mm] B_3 [/mm] - [mm] 2B_4$ [/mm] an $U$
Wieder erstes Problem: Wo lese ich die [mm] $B_i$'s [/mm] ab? Aber auch ansonsten habe ich gar keine Ahnung was hier gemacht werden soll. Zum Stichwort "Approximation" fällt mir nur eine Näherung zu einer Funktion o.Ä ein. Im Skript zur Vorlesung suche ich den Begriff vergeblich!
Bestimmen Sie [mm] $\phi^{ad}$. [/mm] Ist [mm] $\phi$ [/mm] normal bzw. selbstadjungiert?
Ist die gesuchte Abbildung [mm] $\phi^{ad}$ [/mm] nicht einfach die Transponierte von [mm] ${}^B \phi^B$? [/mm] Also:
[mm] $\phi^{ad} [/mm] = [mm] ({}^B \phi^B)^{tr} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -1\\
-2 & 0 &2 & -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Und wegen [mm] $({}^B \phi^B)^{tr} \neq {}^B \phi^B$ [/mm] ist [mm] $\phi$ [/mm] nicht normal bzw selbstadjungiert?!
Ich hoffe dass sind nicht zu viele Aufgaben auf einmal ;)
Vielen Dank schonmal für erste Korrekturen und Tipps!
lg
NightmareVirus
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Hallo NightmareVirus,
> Sei [mm]V[/mm] eine [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum mit Basis [mm]B = (B_1, \ldots, B_4)[/mm].
> Weiter sie [mm]\Phi[/mm] die symmetrische Bilinearform auf [mm]V[/mm] mit
>
> [mm]${}_B\Phi^B[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}[/mm][mm][/mm]
>
> Ferner sei [mm]U := \left \langle B_1, B_2 \right \rangle \leq V[/mm]
>
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm](V, \Phi)[/mm] ein Euklidischer Vektorraum
> ist.
>
> (b) Geben Sie Orthonormalbasen von [mm]U[/mm] und [mm]U^{\perp}[/mm] an.
>
> (c) Geben Sie eine Choleskyzerlegung der Grammatrix
> [mm]{}_B\Phi^B[/mm] an.
>
> (d) Bestimmen Sie die beste Approximation von [mm]B_1 + B_3 - 2B_4[/mm]
> an [mm]U[/mm]
>
> (e) Sei [mm]\phi \in End(V)[/mm] mit
> [mm]${}_B \Phi^B[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & -2\\
0 & 2 & 0 &0 \\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & -1 & -1
\end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
>
> Bestimmen Sie [mm]\phi^{ad}[/mm]. Ist [mm]\phi[/mm] normal bzw.
> selbstadjungiert?
>
> Hi,
> Die Aufgabe findet sich auf unserem Blatt zur
> Klausurvorbereitung und wird leider nicht vorgerechnet
> werden. Ich habe bereits einige Ansätze, die aber
> zumidnest teilweise nicht das gewünschte Ergebnis
> liefern:
>
> Zeigen Sie, dass [mm](V, \Phi)[/mm] ein Euklidischer Vektorraum
> ist.
>
> Dazu ist ja zu zeigen:
> [mm]\Phi[/mm] ist bilinear
> [mm]\Phi[/mm] ist symmetrisch
> [mm]\Phi[/mm] ist positiv definit
>
> Die ersten beiden Punkte sind bereits nach Aufgabenstellung
> erfüllt. d.h. es bleibt zu zeigen [mm]\Phi[/mm] ist positiv
> definit:
> Mit symmetrischen Zeilen/Spaltenumformungen bringe ich
> [mm]{}_B\Phi^B[/mm] auf die Form:
> [mm]${}_B\Phi^B[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> = [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1& 0 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}[/mm]
>
> = [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0& 1\\
0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$[/mm]
>
> Wegen [mm]a_{i,i} \leq 0[/mm] für [mm]i \in \{2,3\} \Rightarrow[/mm]
> [mm]{}_B\Phi^B[/mm] nicht positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](V, \Phi)[/mm] kein
> Euklidischer Vektorraum!
>
> Ich vermute mal dass ich entweder ein falsches Verfahren
> angewandt hab oder mich verrechnet habe, denn eigentlich
> sollte man ja nachweisen das ein Euklid. Vektorraum
> vorliegt!
Wende hier den Gauß-Algorithmus an.
>
>
> Geben Sie Orthonormalbasen von [mm]U[/mm] und [mm]U^{\perp}[/mm] an.
> Orthonormalbasen bestimmt man ja mit dem Verfahren von
> Gram und Schmidt. Dies ist soweit auch klar. Jedoch weiss
> ich an dieser Stelle nicht wie ich [mm]U[/mm] bestimme, bzw
> konkreter:
> Wo lese ich die Basisvektoren: [mm]B_1, B_2[/mm] ab? (1. und 2.
> Spalte der Matrix [mm]{}_B\Phi^B[/mm]?)
So deute ich das auch.
> Und auch mit Kenntnis dieser Basisvetkoren ist mir nicht
> klar war [mm]U^{\perp}[/mm] ist.
>
> Geben Sie eine Choleskyzerlegung der Grammatrix [mm]{}_B\Phi^B[/mm]
> an.
>
> Die Choleskyzerlung zu einer Matrix A liefert ja eine
> Matrix [mm]X[/mm] mit [mm]A = X^{tr}X[/mm]. Wobei [mm]X[/mm] unterhalb der Diagonalen
> nur 0'en als Einträge hat.
>
> Also ist folgende Gleichung zu lösen:
>
> [mm]$X^{tr}X[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}a & 0 & 0 & 0 \\
b & e & 0 & 0 \\
c & f & h & 0\\
d & g & i & j \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix}a & b & c & d \\
0 & e & f & g \\
0 & 0 & h & i\\
0 & 0 & 0 & j \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$[/mm]
>
> Daraus habe ich jetzt (vielleicht etwas umständlich???)
> durch Lösen von 4*4 = 16 Gleichungen folgende
> Schlussfolgerungen gezogen:
> [mm]a=b=c=1, d=0[/mm]
> Daraus wiederum folgte unmittelbar:
> [mm]e=1[/mm] was [mm]f=g=0[/mm] implziert
> Wegen f=0 folgte unmittelbar [mm]h=i=j=1[/mm]
>
> Damit ist die gesuchte Choleskyzerlgung:
> X = [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Die Frage ist ob man das wirklich "manuell" durch Lösen
> der 16 Gleichungen macht, oder ob es da auch ein Verfahrung
> (Gauss etc.) gibt womit man die Choleskyzerlgung "nebenher"
> berechnen kann.
Wenn Du den Gauß-Algorithmus anwendest, erhälst Du
wahrscheinlich zwei Matrizen, die transponiert zueinander sind.
Falls nicht, mußt Du dann eine Matrix geeignet manipulieren.
>
> Bestimmen Sie die beste Approximation von [mm]B_1 + B_3 - 2B_4[/mm]
> an [mm]U[/mm]
>
> Wieder erstes Problem: Wo lese ich die [mm]B_i[/mm]'s ab? Aber auch
> ansonsten habe ich gar keine Ahnung was hier gemacht werden
> soll. Zum Stichwort "Approximation" fällt mir nur eine
> Näherung zu einer Funktion o.Ä ein. Im Skript zur
> Vorlesung suche ich den Begriff vergeblich!
>
>
> Bestimmen Sie [mm]\phi^{ad}[/mm]. Ist [mm]\phi[/mm] normal bzw.
> selbstadjungiert?
>
>
> Ist die gesuchte Abbildung [mm]\phi^{ad}[/mm] nicht einfach die
> Transponierte von [mm]{}^B \phi^B[/mm]? Also:
> [mm]$\phi^{ad}[/mm] = [mm]({}^B \phi^B)^{tr}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & -1\\
-2 & 0 &2 & -1 \end{pmatrix}$[/mm]
>
> Und wegen [mm]({}^B \phi^B)^{tr} \neq {}^B \phi^B[/mm] ist [mm]\phi[/mm]
> nicht normal bzw selbstadjungiert?!
>
>
> Ich hoffe dass sind nicht zu viele Aufgaben auf einmal ;)
>
> Vielen Dank schonmal für erste Korrekturen und Tipps!
>
> lg
>
> NightmareVirus
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 22.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Mit symmetrischen Zeilen/Spaltenumformungen bringe ich
> [mm]{}_B\Phi^B[/mm] auf die Form:
> [mm]${}_B\Phi^B[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0\\
1& 1 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> = [mm]\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0\\
1& 0 & 2& 1\\
0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}[/mm]
Kannst du angeben, wie genau du das gemacht hast? Der Schritt ist offenbar falsch - die Anfangsmatrix ist regulär, die jetzt nicht mehr. Ziehst du die Spalte und die Zeile gleichzeitig ab? Das darfst du nicht - erst die ite Spalte von der jten abziehen, und dann bei der sich ergebenen Matrix die ite Zeile von der jten!
> Geben Sie Orthonormalbasen von [mm]U[/mm] und [mm]U^{\perp}[/mm] an.
> Orthonormalbasen bestimmt man ja mit dem Verfahren von
> Gram und Schmidt. Dies ist soweit auch klar. Jedoch weiss
> ich an dieser Stelle nicht wie ich [mm]U[/mm] bestimme, bzw
> konkreter:
> Wo lese ich die Basisvektoren: [mm]B_1, B_2[/mm] ab? (1. und 2.
> Spalte der Matrix [mm]{}_B\Phi^B[/mm]?)
Nein. U wird von [mm]B_1, B_2[/mm] erzeugt. Da gibt es nichts zu rütteln. Du musst mittels GS also eine ONB für U aus den beiden Vektoren finden. Dann ergänzt du mit [m]B_3,B_4[/m] - und wendest das Verfahren an. Die neuen Vektoren stehen senkrecht auf U, und bilden dann eine ONB für das orthogonale Komplement.
> Und auch mit Kenntnis dieser Basisvetkoren ist mir nicht
> klar war [mm]U^{\perp}[/mm] ist.
Das orthogonale Komplement.
> Bestimmen Sie die beste Approximation von [mm]B_1 + B_3 - 2B_4[/mm]
> an [mm]U[/mm]
>
> Wieder erstes Problem: Wo lese ich die [mm]B_i[/mm]'s ab? Aber auch
> ansonsten habe ich gar keine Ahnung was hier gemacht werden
> soll. Zum Stichwort "Approximation" fällt mir nur eine
> Näherung zu einer Funktion o.Ä ein. Im Skript zur
> Vorlesung suche ich den Begriff vergeblich!
Direkt hört sich das komisch an - vielleicht mal nachfragen? Wohlmöglich wird hier die orthogonale Projektion des Vektors [mm]B_1 + B_3 - 2B_4[/mm] auf U gemeint sein - die hat nämlich den kleinsten Abstand zu diesem Vektor von U aus gesehen, also approximiert sie ihn am besten.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 27.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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