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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 20.10.2009 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | a) Finden sie für die parael [mm] y=1-x^{2} [/mm] eine Darstellung als Kurve:
r: [mm] \IR \to \IR^{2}, [/mm] r(t) = [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] |
Wie mach ich das? Ich hab keinen Ansatz...
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Hallo Daniel,
> a) Finden sie für die parael [mm]y=1-x^{2}[/mm] eine Darstellung
> als Kurve:
> r: [mm]\IR \to \IR^{2},[/mm] r(t) = [mm]\vektor{x(t) \\ y(t)}[/mm]
> Wie mach
> ich das? Ich hab keinen Ansatz...
Sehe ich das richtig, dass es dir um eine Parametrisierung bzw. Darstellung der gegebenen Parabel in der Ebene geht?
Nun, du kannst eine Funktion $y=f(x)$ bzw. ihren Graphen als Kurve in der Ebene auffassen oder als Punktmenge [mm] $\{(x,f(x))\}$
[/mm]
Hier wäre die Darstellung der gegebenen Funktion als Kurve im [mm] $\IR^2$ [/mm] also [mm] $r:\IR\to\IR^2, t\mapsto\vektor{t\\1-t^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 20.10.2009 | | Autor: | Bling |
Ja genau darum gings mir...
ich hab mühe damit zu erkennen was genau verlangt ist.
Dachte mir eigentlich schon, dass es sich um was banales handelt, aber bin halt trotzdem nicht darauf gekommen.
ist das richtig, dass in diesem Fall r(t) die Funktion ist?...
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Hallo nochmal,
ich bin nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstehe und hoffe, dass wir nicht aneinander vorbei reden ...
> Ja genau darum gings mir...
> ich hab mühe damit zu erkennen was genau verlangt ist.
> Dachte mir eigentlich schon, dass es sich um was banales
> handelt, aber bin halt trotzdem nicht darauf gekommen.
> ist das richtig, dass in diesem Fall r(t) die Funktion
> ist?...
[mm] $r(t)=\vektor{t\\1-t^2}$, [/mm] also $x(t)=t$ und [mm] $y(t)=1-t^2$ [/mm] ist die Parametrisierung der gegebenen Parabel bzw. der Punktmenge ihres Graphen.
Jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] wird durch die Abbildungsvorschrift der Parabel abgebildet auf [mm] $f(x)=1-x^2$.
[/mm]
Den Graphen der Parabel kannst du also als Punktmenge im [mm] $\IR^2$ [/mm] auffassen, das sind alle Paare [mm] $(x,f(x))=(x,1-x^2)$ [/mm] mit [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Dann taufe einfach $x$ in $t$ um und du hast die gesuchte Parametrisierung
[mm] $r:\IR\to\IR^2$ [/mm] mit [mm] $r(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}=\vektor{t\\1-t^2}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 20.10.2009 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | b) Berechnen Sie die Einheitsnormale n(t).
c) Berechnen Sie die Krümung als Funktion von t gemäss der Formel
[mm] k(t)=\bruch{x(t)'*y(t)''-y(t)'*x(t)''}{8x(t)'^{2}+y(t)'^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
d) Berechnen Sie den geometrischen Ort der Krümmungsmittelpunkte (Evolute)
[mm] M(t)=r(t)+\bruch{1}{k(t)}*n(t) [/mm] |
Also, das in a) hab ich begriffen.
Jetzt gehts weiter:
b) um den Normalvektor zu erhalten muss ich x(t) und y(t) vertauschen und bei y(t) das Vorzeichen kehre, also
[mm] \vektor{t^{2}-1 \\ t}
[/mm]
und jetzt weiss ich aber nicht genau ob ich das mit der Normierung richtig gemacht hab. Ich hab folgendes gerechnet:
[mm] n(t)=\bruch{1}{|(t^{2}-1,t)^{T}|}=\bruch{1}{\wurzel{(t^{2}-1)^{2}+t^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{t^{4}-t^{2}+1}}
[/mm]
kann das sein? muss ich da keinen Vektor erhalten?
[mm] c)k(t)=\bruch{(1*(-2))-(-2t*0)}{(1^{2}+(-2t)^{2})^{\bruch{3}{2}}}=\bruch{-2}{(1+4t^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
kann ich da noch was vereinfachen? Wenn ja, wie?
d) Seh ich das richtig, dass M(t) dann eine Kurve in Parameterdarstellung sein muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Mi 21.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> b) Berechnen Sie die Einheitsnormale n(t).
> c) Berechnen Sie die Krümung als Funktion von t gemäss
> der Formel
> [mm]k(t)=\bruch{x(t)'*y(t)''-y(t)'*x(t)''}{8x(t)'^{2}+y(t)'^{2})^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
Es soll wohl
[mm]k(t)=\bruch{x(t)'*y(t)''-y(t)'*x(t)''}{((x(t)'^{2}+y(t)'^{2})^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
lauten.
> d) Berechnen Sie den geometrischen Ort der
> Krümmungsmittelpunkte (Evolute)
> [mm]M(t)=r(t)+\bruch{1}{k(t)}*n(t)[/mm]
> Also, das in a) hab ich begriffen.
> Jetzt gehts weiter:
>
> b) um den Normalvektor zu erhalten muss ich x(t) und y(t)
> vertauschen und bei y(t) das Vorzeichen kehre, also
> [mm]\vektor{t^{2}-1 \\ t}[/mm]
>
> und jetzt weiss ich aber nicht genau ob ich das mit der
> Normierung richtig gemacht hab. Ich hab folgendes
> gerechnet:
>
> [mm]n(t)=\bruch{1}{|(t^{2}-1,t)^{T}|}=\bruch{1}{\wurzel{(t^{2}-1)^{2}+t^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{t^{4}-t^{2}+1}}[/mm]
> kann das sein? muss ich da keinen Vektor erhalten?
Doch. Was Du oben berechnet hast ist nicht n(t), sondern die Länge von [mm]\vektor{t^{2}-1 \\ t}[/mm]
Damit ist
$n(t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{t^{4}-t^{2}+1}}*\vektor{t^{2}-1 \\ t}$
[/mm]
>
>
> [mm]c)k(t)=\bruch{(1*(-2))-(-2t*0)}{(1^{2}+(-2t)^{2})^{\bruch{3}{2}}}=\bruch{-2}{(1+4t^{2})^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
> kann ich da noch was vereinfachen?
Nein
> Wenn ja, wie?
>
> d) Seh ich das richtig, dass M(t) dann eine Kurve in
> Parameterdarstellung sein muss?
Selbstverständlich
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:44 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Bling |
also dann erhalte ich ja für [mm] M(t)=\vektor{t \\ 1-t^{2}}+((\bruch{(1+4*t^{2})^{\bruch{3}{2}}}{-2}*\bruch{1}{\wurzel{t^{4}-t^{2}+1}}*\vektor{t^{2}-1\\t})
[/mm]
[mm] =\vektor{t \\ 1-t^{2}}+\bruch{(1+4t^{2})^{\bruch{3}{2}}}{-2*\wurzel{t^{4}-t^{2}+1}}*\vektor{t^{2}-1\\t})
[/mm]
sollte ich zuvor wirklich alles richtig gerechnet haben, kann es sein dass ich auf ein so kompliziertes Ergebnis komme? Denn da kann ich ja nichts mehr vereinfachen, auch wenn ich den Bruch mit den einzelnen Vektorkomponenten von [mm] \vektor{t^{2}-1\\t} [/mm] multipliziere und zu den Komponenten von Vektor [mm] \vektor{t\\1-t^{2}} [/mm] addiere...
falls schon, wär ich froh wenn mir das jemand zeigen könnte.
Meine Vermutung, dass noch Fehler vorliegen begründ ich darauf dass ich die Evolute Zeichnen sollte... und das ist ja wohl kaum möglich in dieser Form.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 23.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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