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| Aufgabe | | Sei c(t) eine reguläre, nach Bogenlänge par. ebene Kurve mit nicht verschwindener Krümmung. Man zeige, dass die Evolute [mm] y(t)=c(t)+\bruch{e_{2}(t)}{k(t)} [/mm] genau dort regulär ist, wo k' [mm] \not= [/mm] 0. Weiter zeige man, dass die Tangente an y in einem solchen regulären Punkt t= [mm] t_{0} [/mm] die Kurve c in [mm] c(t_{0}) [/mm] senkrecht schneidet. |
Hallo
Bei dieser Aufgabe muss man 2 Dinge zeigen:
1) Evolute ist regulär, wo k' [mm] \not= [/mm] 0
2) Tangente an y in einem reg. Punkt die Kurve senkrecht schneidet.
Zu 1)
Die Evolute ist regulär, wenn y'(t) [mm] \not= [/mm] 0
=> [mm] y'(t)=c'(t)+\bruch{e_{2}'(t)*k(t)-k'(t)*e_{2}(t)}{k(t)^2}
[/mm]
Nach Vor. ist c regulär, also ist c'(t) [mm] \not= [/mm] 0, also betrchten wir nun den hinteren Term.
Wir wissen, die Krümmung verschwindet nicht, was ja bedeutet, dass k(t) [mm] \not= [/mm] 0, oder?
Zu erwähnen ist vielleicht noch, dass wir in der Vorlesung zur Kurve c(t)=(x(t),y(t)) [mm] e_{1}(t)=c'(t) [/mm] und [mm] e_{2}(t)=(-y(t),x(t)) [/mm] definiert haben.
Kann mir einer weiter helfen?
Zu 2:
Hier hab ich irgendwie kein richtigen Ansatz. Vielleicht [mm] , [/mm] also T steht für die Tangentengleichung. Ich kann die ja nicht richtig angeben, da ja kein Punkt vorgegeben ist bzw. keine Zahl.
Also ich wär froh über ein paar Ideen :)
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo!
Hat irgendwer noch Ansätze zu meiner Aufgabe?
Wär über jede Hilfe dankbar?
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Do 13.10.2011 | | Autor: | meili |
Hallo TheBozz-mismo,
> Sei c(t) eine reguläre, nach Bogenlänge par. ebene Kurve
> mit nicht verschwindener Krümmung. Man zeige, dass die
> Evolute [mm]y(t)=c(t)+\bruch{e_{2}(t)}{k(t)}[/mm] genau dort
> regulär ist, wo k' [mm]\not=[/mm] 0. Weiter zeige man, dass die
> Tangente an y in einem solchen regulären Punkt t= [mm]t_{0}[/mm]
> die Kurve c in [mm]c(t_{0})[/mm] senkrecht schneidet.
Zu dieser Aufgabe kann ich Dir nur ein paar Anregungen geben,
da ich mich in dieses Gebiet nicht eingearbeitet habe.
> Hallo
> Bei dieser Aufgabe muss man 2 Dinge zeigen:
> 1) Evolute ist regulär, wo k' [mm]\not=[/mm] 0
> 2) Tangente an y in einem reg. Punkt die Kurve senkrecht
> schneidet.
>
> Zu 1)
> Die Evolute ist regulär, wenn y'(t) [mm]\not=[/mm] 0
> =>
> [mm]y'(t)=c'(t)+\bruch{e_{2}'(t)*k(t)-k'(t)*e_{2}(t)}{k(t)^2}[/mm]
>
> Nach Vor. ist c regulär, also ist c'(t) [mm]\not=[/mm] 0, also
> betrchten wir nun den hinteren Term.
>
> Wir wissen, die Krümmung verschwindet nicht, was ja
> bedeutet, dass k(t) [mm]\not=[/mm] 0, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu erwähnen ist vielleicht noch, dass wir in der
> Vorlesung zur Kurve c(t)=(x(t),y(t)) [mm]e_{1}(t)=c'(t)[/mm] und
> [mm]e_{2}(t)=(-y(t),x(t))[/mm] definiert haben.
Mir scheint dieses y(t) ist nicht das y(t) aus der Aufgabe,
sondern die 2. Komponente von c(t).
Vielleicht kommst Du weiter, wenn Du [mm] $e_2(t)$ [/mm] in y'(t) einsetzst.
>
> Kann mir einer weiter helfen?
>
> Zu 2:
> Hier hab ich irgendwie kein richtigen Ansatz. Vielleicht
> [mm],[/mm] also T steht für die
> Tangentengleichung. Ich kann die ja nicht richtig angeben,
> da ja kein Punkt vorgegeben ist bzw. keine Zahl.
Du nimmst einfach einen festen, aber beliebigen Wert [mm] $t_0$, [/mm] der ein
reguläre Punkt ist. (Bedingung für reguläre Punkt benutzen)
Vielleicht Tangentengleichung T als Punkt-Steigungs-Form allgemein für
[mm] $t_0$ [/mm] und Tangente von c auch allgemein im selben Punkt [mm] $t_0$. [/mm]
Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden, bestimmen.
Oder Skalarprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden berechnen.
>
> Also ich wär froh über ein paar Ideen :)
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> Gruß
>
> TheBozz-mismo
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Do 13.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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