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Evolute usw.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:28 Di 11.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Sei c(t) eine reguläre, nach Bogenlänge par. ebene Kurve mit nicht verschwindener Krümmung. Man zeige, dass die Evolute [mm] y(t)=c(t)+\bruch{e_{2}(t)}{k(t)} [/mm] genau dort regulär ist, wo k' [mm] \not= [/mm] 0. Weiter zeige man, dass die Tangente an y in einem solchen regulären Punkt t= [mm] t_{0} [/mm] die Kurve c in [mm] c(t_{0}) [/mm] senkrecht schneidet.

Hallo
Bei dieser Aufgabe muss man 2 Dinge zeigen:
1) Evolute ist regulär, wo k' [mm] \not= [/mm] 0
2) Tangente an y in einem reg. Punkt die Kurve senkrecht schneidet.

Zu 1)
Die Evolute ist regulär, wenn y'(t) [mm] \not= [/mm] 0
=> [mm] y'(t)=c'(t)+\bruch{e_{2}'(t)*k(t)-k'(t)*e_{2}(t)}{k(t)^2} [/mm]

Nach Vor. ist c regulär, also ist c'(t) [mm] \not= [/mm] 0, also betrchten wir nun den hinteren Term.

Wir wissen, die Krümmung verschwindet nicht, was ja bedeutet, dass k(t) [mm] \not= [/mm] 0, oder?

Zu erwähnen ist vielleicht noch, dass  wir in der Vorlesung zur Kurve c(t)=(x(t),y(t)) [mm] e_{1}(t)=c'(t) [/mm] und [mm] e_{2}(t)=(-y(t),x(t)) [/mm] definiert haben.

Kann mir einer weiter helfen?

Zu 2:
Hier hab ich irgendwie kein richtigen Ansatz. Vielleicht [mm] , [/mm] also T steht für die Tangentengleichung. Ich kann die ja nicht richtig angeben, da ja kein Punkt vorgegeben ist bzw. keine Zahl.

Also ich wär froh über ein paar Ideen :)

Vielen Dank für die Hilfe

Gruß

TheBozz-mismo

        
Bezug
Evolute usw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mi 12.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!


Hat irgendwer noch Ansätze zu meiner Aufgabe?

Wär über jede Hilfe dankbar?

Gruß

TheBozz-mismo

Bezug
        
Bezug
Evolute usw.: Anregung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Do 13.10.2011
Autor: meili

Hallo TheBozz-mismo,

> Sei c(t) eine reguläre, nach Bogenlänge par. ebene Kurve
> mit nicht verschwindener Krümmung. Man zeige, dass die
> Evolute [mm]y(t)=c(t)+\bruch{e_{2}(t)}{k(t)}[/mm] genau dort
> regulär ist, wo k' [mm]\not=[/mm] 0. Weiter zeige man, dass die
> Tangente an y in einem solchen regulären Punkt t= [mm]t_{0}[/mm]
> die Kurve c in [mm]c(t_{0})[/mm] senkrecht schneidet.

Zu dieser Aufgabe kann ich Dir nur ein paar Anregungen geben,
da ich mich in dieses Gebiet nicht eingearbeitet habe.

>  Hallo
>  Bei dieser Aufgabe muss man 2 Dinge zeigen:
>  1) Evolute ist regulär, wo k' [mm]\not=[/mm] 0
>  2) Tangente an y in einem reg. Punkt die Kurve senkrecht
> schneidet.
>  
> Zu 1)
>  Die Evolute ist regulär, wenn y'(t) [mm]\not=[/mm] 0
>  =>

> [mm]y'(t)=c'(t)+\bruch{e_{2}'(t)*k(t)-k'(t)*e_{2}(t)}{k(t)^2}[/mm]
>  
> Nach Vor. ist c regulär, also ist c'(t) [mm]\not=[/mm] 0, also
> betrchten wir nun den hinteren Term.
>  
> Wir wissen, die Krümmung verschwindet nicht, was ja
> bedeutet, dass k(t) [mm]\not=[/mm] 0, oder?

[ok]

>  
> Zu erwähnen ist vielleicht noch, dass  wir in der
> Vorlesung zur Kurve c(t)=(x(t),y(t)) [mm]e_{1}(t)=c'(t)[/mm] und
> [mm]e_{2}(t)=(-y(t),x(t))[/mm] definiert haben.

Mir scheint dieses y(t) ist nicht das y(t) aus der Aufgabe,
sondern die 2. Komponente von c(t).

Vielleicht kommst Du weiter, wenn Du [mm] $e_2(t)$ [/mm] in y'(t) einsetzst.

>  
> Kann mir einer weiter helfen?
>  
> Zu 2:
>  Hier hab ich irgendwie kein richtigen Ansatz. Vielleicht
> [mm],[/mm] also T steht für die
> Tangentengleichung. Ich kann die ja nicht richtig angeben,
> da ja kein Punkt vorgegeben ist bzw. keine Zahl.

Du nimmst einfach einen festen, aber beliebigen Wert [mm] $t_0$, [/mm] der ein
reguläre Punkt ist. (Bedingung für reguläre Punkt benutzen)

Vielleicht Tangentengleichung T als Punkt-Steigungs-Form allgemein für
[mm] $t_0$ [/mm] und Tangente von c auch allgemein im selben Punkt [mm] $t_0$. [/mm]
Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden, bestimmen.
Oder Skalarprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden berechnen.

>  
> Also ich wär froh über ein paar Ideen :)
>  
> Vielen Dank für die Hilfe
>  
> Gruß
>  
> TheBozz-mismo

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Evolute usw.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Do 13.10.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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