Exakt zwei reelle Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass das Polynom p(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - x - 2 genau zwei reelle Nullstellen hat.
Hinweis: numerische Approximationen der Nullstellen werden nicht gebraucht und liefern als solche keinen Beweis ihrer Existenz. Der Beweis muss formal mit Hilfe der Eigenschaften von der Funktion p erbracht werden. |
Hallo zusammen,
wenn ich mir die Funktion plotten lasse, sehe ich, dass sie irgendwo in der Nähe von -1 und 1 jeweils eine Nullstelle hat, aber das ist ja wie die Aufgabenstellung schon sagt nicht gefragt. Ich hatte zum Beweis die Idee Vorzeichenwechsel in der Funktion zu finden und dann zu argumentieren a la "Wenn es einen Bereich positiver Werte, einen negativer Werte und noch einen positiver Werte gibt, dann muss nach dem Zwischenwertsatz irgendwo zweimal der Nullpunkt erreicht werden. An den Rändern dieser Bereiche ist die Funktion dann monoton wachsend/fallend und es gibt deshalb keinen weiteren Schnitt mehr mit der Abszisse."
Das hat ja aber zwei Haken:
1. Man muss wieder numerisch argumentieren.
2. Auch wenn man die drei Bereiche identifiziert, könnte es ja sein, dass es in diesen wiederum Vorzeichenwechsel, also möglicherweise mehr als zwei Nullstellen gibt.
Habt ihr einen Tipp, wie ich besser an die Aufgabe herangehen könnte? Oder kann man sogar auf meinem Gedanken aufbauen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mo 26.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
mithilfe der Ableitung kannst du die Anzahl der Extrema und der Wendepunkte bestimmen. Damit kannst du dann mit dem ZWS auf die Anzahl schließen. Der ZWS liefert die die Mindestanzahl, die Anzahl der Extrema und Wendepunkte die Höchstzahl der Nullstellen.
Grüße
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> mithilfe der Ableitung kannst du die Anzahl der Extrema und
> der Wendepunkte bestimmen. Damit kannst du dann mit dem ZWS
> auf die Anzahl schließen. Der ZWS liefert die die
> Mindestanzahl, die Anzahl der Extrema und Wendepunkte die
> Höchstzahl der Nullstellen.
>
Hallo teo, vielen Dank erstmal. Den Begriff der Ableitung haben wir heute eingeführt, Extrempunkte hatten wir auch, Wendepunkte aber noch nicht. Auch hatten wir noch keine Differentiationsregeln, also müsste ich das über den Differenzenquotienten ableiten. Denkst du wir sollen trotzdem bei dem Vorlesungsstand schon so an die Aufgabe herangehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mo 26.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
Extremwerte reichen in dem Fall ja auch schon. Es muss dabei ja rauskommen, dass es nur ein Extremum gibt und das Extremum ein Minimum ist. Der Rest folgt eigentlich aus monotonie und Grenzwertbetrachtungen..
Grüße
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Hallo Unwissender,
da bin ich nicht auf teos Seite.
Es gibt drei Extrema zwischen den Nullstellen, da die Ableitung drei Nullstellen hat.
Aufgrund des positiven Koeffizienten vor [mm] x^4 [/mm] wissen wir, dass die Reihenfolge nur Minimum, Maximum, Minimum sein kann.
Es ist also zu zeigen, dass alle Extrema zwischen den Nullstellen liegen und dass das Maximum einen Funktionswert <0 hat.
Wenn Euch aber noch nicht der ganze Park der Kurvendiskussion zur Verfügung steht, ist das nicht so einfach...
Was steht Euch denn bisher zur Verfügung?
Ableitung über Differenzenquotient, Extrema, Zwischenwertsatz habe ich bisher gelesen. Und sonst?
Übrigens: vielleicht ist es praktischer, die Funktion [mm] g(x)=x^4+3x^3-x\blue{-3} [/mm] zu untersuchen, da sind wenigstens die Nullstellen [mm] x_{N1}=-3 [/mm] und [mm] x_{N2}=1 [/mm] einfach. 
Wenn bei dieser Funktion zu zeigen ist, dass das (einzige) Maximum einen Funktionswert <-1 hat, ist man ja auch fertig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 26.11.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo Unwissender,
>
> da bin ich nicht auf teos Seite.
>
> Es gibt drei Extrema zwischen den Nullstellen, da die
> Ableitung drei Nullstellen hat.
Aber nur eine davon ist reell!
> Aufgrund des positiven Koeffizienten vor [mm]x^4[/mm] wissen wir,
> dass die Reihenfolge nur Minimum, Maximum, Minimum sein
> kann.
>
> Es ist also zu zeigen, dass alle Extrema zwischen den
> Nullstellen liegen und dass das Maximum einen Funktionswert
> <0 hat.
>
> Wenn Euch aber noch nicht der ganze Park der
> Kurvendiskussion zur Verfügung steht, ist das nicht so
> einfach...
>
> Was steht Euch denn bisher zur Verfügung?
> Ableitung über Differenzenquotient, Extrema,
> Zwischenwertsatz habe ich bisher gelesen. Und sonst?
>
> Übrigens: vielleicht ist es praktischer, die Funktion
> [mm]g(x)=x^4+3x^3-x\blue{-3}[/mm] zu untersuchen, da sind wenigstens
> die Nullstellen [mm]x_{N1}=-3[/mm] und [mm]x_{N2}=1[/mm] einfach.
>
> Wenn bei dieser Funktion zu zeigen ist, dass das (einzige)
> Maximum einen Funktionswert <-1 hat, ist man ja auch
> fertig.
>
> Grüße
> reverend
>
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>
> Aber nur eine davon ist reell!
>
Meintest du zwei? Das soll nämlich bewiesen werden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 26.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo teo,
> > Es gibt drei Extrema zwischen den Nullstellen, da die
> > Ableitung drei Nullstellen hat.
>
> Aber nur eine davon ist reell!
Nein, alle drei sind reell.
Rechne doch mal nach. Zweite Ableitung etc.
Oder halt numerische Näherung...
Oder lass Dir die ursprüngliche Funktion oder die 1. Ableitung plotten.
Du beharrst gerade auf einer falschen Aussage.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo reverend, du beschäftigst dich mit der falschen Funktion, im zweiten Summanden steht der Exponent 2, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mo 26.11.2012 | | Autor: | teo |
Danke, ich dachte schon ich bin total wirr im Kopf..
Es geht um p(x) = [mm] x^4+3x^2-x-2.
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mo 26.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Steffi,
> Hallo reverend, du beschäftigst dich mit der falschen
> Funktion, im zweiten Summanden steht der Exponent 2, Steffi
Aaaah. Lesen müsste man können.
Das verändert die Situation natürlich, insbesondere...
@teo
...bin ich es, der auf etwas Falschem beharrt.
Ich bitte um Entschuldigung!
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
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> Es gibt drei Extrema zwischen den Nullstellen, da die
> Ableitung drei Nullstellen hat.
> Aufgrund des positiven Koeffizienten vor [mm]x^4[/mm] wissen wir,
> dass die Reihenfolge nur Minimum, Maximum, Minimum sein
> kann.
>
> Es ist also zu zeigen, dass alle Extrema zwischen den
> Nullstellen liegen und dass das Maximum einen Funktionswert
> <0 hat.
>
> Wenn Euch aber noch nicht der ganze Park der
> Kurvendiskussion zur Verfügung steht, ist das nicht so
> einfach...
>
> Was steht Euch denn bisher zur Verfügung?
> Ableitung über Differenzenquotient, Extrema,
> Zwischenwertsatz habe ich bisher gelesen. Und sonst?
Also heute haben wir die Ableitung als Beispiel für den Grenzwert von Funktionen eingeführt. Ganz durchschaut habe ich das noch nicht. Danach kamen links- und rechtsseitige Grenzwerte und damit dann ein Satz über die maximale Anzahl der Sprungstellen einer Funktion. Das hilft fürchte ich alles nicht so viel weiter. Dann haben wir aus der letzten Woche noch den Fixpunktsatz und wie gesagt den Extremwertsatz und Zwischenpunktsatz, aber wie gesagt noch keine weiteren Elemente der Kurvendiskussion. Es wäre möglich, dass er uns die in der Vorlesung am Freitag hinwirft kurz vor Abgabetermin des Zettels, aber ich denke eher wird erwartet, dass wir es auch ohne das lösen können.. wenn es denn mit den beschränkten Mitteln eines Erstsemestlers möglich ist. :)
>
> Übrigens: vielleicht ist es praktischer, die Funktion
> [mm]g(x)=x^4+3x^3-x\blue{-3}[/mm] zu untersuchen, da sind wenigstens
> die Nullstellen [mm]x_{N1}=-3[/mm] und [mm]x_{N2}=1[/mm] einfach.
Praktischer ist die aber auch nur, wenn man die Nullstellen numerisch bestimmen soll/will, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Mo 26.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Also heute haben wir die Ableitung als Beispiel für den
> Grenzwert von Funktionen eingeführt. Ganz durchschaut habe
> ich das noch nicht. Danach kamen links- und rechtsseitige
> Grenzwerte und damit dann ein Satz über die maximale
> Anzahl der Sprungstellen einer Funktion. Das hilft fürchte
> ich alles nicht so viel weiter. Dann haben wir aus der
> letzten Woche noch den Fixpunktsatz und wie gesagt den
> Extremwertsatz und Zwischenpunktsatz, aber wie gesagt noch
> keine weiteren Elemente der Kurvendiskussion. Es wäre
> möglich, dass er uns die in der Vorlesung am Freitag
> hinwirft kurz vor Abgabetermin des Zettels, aber ich denke
> eher wird erwartet, dass wir es auch ohne das lösen
> können.. wenn es denn mit den beschränkten Mitteln eines
> Erstsemestlers möglich ist. :)
Das denke ich auch, aber ich sehe noch nicht, wie es geht.
> > Übrigens: vielleicht ist es praktischer, die Funktion
> > [mm]g(x)=x^4+3x^3-x\blue{-3}[/mm] zu untersuchen, da sind wenigstens
> > die Nullstellen [mm]x_{N1}=-3[/mm] und [mm]x_{N2}=1[/mm] einfach.
>
> Praktischer ist die aber auch nur, wenn man die Nullstellen
> numerisch bestimmen soll/will, oder?
Naja, das ist für die Betrachtung der Extrema auch noch gut, weil ja zu zeigen ist, dass die alle drei zwischen den Nullstellen liegen. Damit hat man ja schonmal ein Intervall mit genau bestimmten Grenzen.
Die Schwierigkeit besteht darin zu zeigen, dass die Funktion zwischen den beiden Minima eben immer unterhalb eines bestimmten Funktionswerts bleibt. Dazu bräuchte man m.E. entweder doch numerische Näherungen oder jedenfalls weitere Mittel der Differentialrechnung.
Der Extremwertsatz trifft ja nur eine Aussage über die Existenz von Extremwerten, mehr nicht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mo 26.11.2012 | | Autor: | teo |
Also,
Vorschlag: Du kannst die erste Ableitung bilden. Diese bringt dir allerdings nicht wirklich viel, da die reelle Nullstelle recht schwer zu berechnen ist. Bilde die zweite Ableitung. Dabei stellst du fest, dass die Funktion keinen reellen Wendepunkt hat. Folglich existiert nur ein Extremum. Mit dem Zwischenwertsatz folgerst du, dass es mindestens zwei Nullstellen gibt. Zwischen diesen Nullstellen muss aufgrund des Grenzwertverhaltens ein Extremum liegen. Dieses muss ein Minimum sein. Weiter folgt damit dann, dass die Funktion auch nur höchstens zwei Nullstellen haben kann. Also hat die Funktion genau zwei Nullstellen.
Problem: Ihr habt die zweite Ableitung nicht...
Edit: Das Problem mit der zweiten Ableitung kannst du ja auch ganz einfach umgehen, indem du die Ableitung p'(x) = [mm] 4x^3+6x [/mm] als "neue" Funktion untersuchst. Leite diese ab, (ist ja dann erste Ableitung) und stelle fest, dass diese keine reellen Nullstellen hat. Folglich besitzt p' keine Extrema, mit dem Grenzverhalten und folgt, dass p' genau eine Nullstelle hat, folglich hat p nur ein Extremum...
Grüße
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