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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Mo 25.10.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Seien [mm] M_{1}\to M_{2}\to M_{3}\to M_{4}\to M_{5} [/mm] und
[mm] N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to N_{4}\to N_{5} [/mm] zwei exakte Folge von R-Moduln und seien [mm] \varphi_{i}:M_{i}\to N_{i} [/mm] R-Modulhomomorphismen, die damit kommutieren.
Zeigen Sie: Sind [mm] \varphi_{2/4} [/mm] Isomorphismen, [mm] \varphi_{1} [/mm] surjektiv und [mm] \varphi_{5} [/mm] injektiv, so ist [mm] \varphi_{3} [/mm] ein Isomorphismus. |
Heyho!
So ich bezeichne die Abbildungen zwischen den Ms mal [mm] f_{i} [/mm] und die anderen [mm] g_{i}.
[/mm]
Dann gilt ja: [mm] x\in ker(\varphi_{3})
[/mm]
[mm] \Rightarrow (f_{4}\circ f_{3})=0, [/mm] da [mm] \varphi_{5} [/mm] injektiv ist. Doch wie schließe ich nun, x=0?
Wo kann man denn noch verwenden, dass [mm] \varphi_{4} [/mm] bijektiv ist?
Ebenso die Surjektivität...
Da muss man doch bestimmt die linke Seite verwenden. Da weiß ich aber so garnicht, wie das gehen soll.
Wo kann da überhaupt die Exaktheit eingehen?
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> Seien [mm]M_{1}\to M_{2}\to M_{3}\to M_{4}\to M_{5}[/mm] und
> [mm]N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to N_{4}\to N_{5}[/mm] zwei exakte
> Folge von R-Moduln und seien [mm]\varphi_{i}:M_{i}\to N_{i}[/mm]
> R-Modulhomomorphismen, die damit kommutieren.
> Zeigen Sie: Sind [mm]\varphi_{2/4}[/mm] Isomorphismen, [mm]\varphi_{1}[/mm]
> surjektiv und [mm]\varphi_{5}[/mm] injektiv, so ist [mm]\varphi_{3}[/mm] ein
> Isomorphismus.
> Heyho!
>
> So ich bezeichne die Abbildungen zwischen den Ms mal [mm]f_{i}[/mm]
> und die anderen [mm]g_{i}.[/mm]
>
> Dann gilt ja: [mm]x\in ker(\varphi_{3})[/mm]
> [mm]\Rightarrow (f_{4}\circ f_{3})(x)=0,[/mm]
> da [mm]\varphi_{5}[/mm] injektiv ist. Doch wie schließe ich nun,
> x=0?
> Wo kann man denn noch verwenden, dass [mm]\varphi_{4}[/mm] bijektiv
> ist?
>
> Ebenso die Surjektivität...
> Da muss man doch bestimmt die linke Seite verwenden. Da
> weiß ich aber so garnicht, wie das gehen soll.
> Wo kann da überhaupt die Exaktheit eingehen?
Hallo,
eine Lösung kann ich Dir im Moment nicht anbieten.
Ich glaube auch, daß man dafür ein wenig frickeln und damit rechnen muß, nicht direkt beim zweiten oder dritten Versuch zum Ziel zu kommen.
Also: Mut zum Rumprobieren und zum Investieren von Zeit!
Da ich die Aufgabe nicht gelöst habe, kann ich Dir nicht sagen, an welcher Stelle die Exaktheit zum Tragen kommt.
Was Exaktheit ist, weißt Du aber, oder? das wäre nämlich wichtig.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 25.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]M_{1}\to M_{2}\to M_{3}\to M_{4}\to M_{5}[/mm] und
> [mm]N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to N_{4}\to N_{5}[/mm] zwei exakte
> Folge von R-Moduln und seien [mm]\varphi_{i}:M_{i}\to N_{i}[/mm]
> R-Modulhomomorphismen, die damit kommutieren.
> Zeigen Sie: Sind [mm]\varphi_{2/4}[/mm] Isomorphismen, [mm]\varphi_{1}[/mm]
> surjektiv und [mm]\varphi_{5}[/mm] injektiv, so ist [mm]\varphi_{3}[/mm] ein
> Isomorphismus.
> Heyho!
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> So ich bezeichne die Abbildungen zwischen den Ms mal [mm]f_{i}[/mm]
> und die anderen [mm]g_{i}.[/mm]
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> Dann gilt ja: [mm]x\in ker(\varphi_{3})[/mm]
> [mm]\Rightarrow (f_{4}\circ f_{3})=0,[/mm]
> da [mm]\varphi_{5}[/mm] injektiv ist. Doch wie schließe ich nun,
> x=0?
> Wo kann man denn noch verwenden, dass [mm]\varphi_{4}[/mm] bijektiv
> ist?
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> Ebenso die Surjektivität...
> Da muss man doch bestimmt die linke Seite verwenden. Da
> weiß ich aber so garnicht, wie das gehen soll.
> Wo kann da überhaupt die Exaktheit eingehen?
Die Exaktheit ist ganz wesentlich für die Beziehungen zwischen nicht unmittelbar benachbarten Abbildungen. Zum Beispiel ist
[mm] f_1 = \varphi_2^{-1}\circ g_1 \circ \varphi_1 [/mm],
und damit folgt aus [mm] $f_2\circ f_1=0$, [/mm] dass
[mm] 0= f_2\circ f_1 = f_2\circ\varphi_2^{-1}\circ g_1 \circ \varphi_1 [/mm] .
Wenn [mm] $\varphi_1$ [/mm] surjektiv ist, ist
[mm] \ker(f_2\circ\varphi_2^{-1}\circ g_1) = N_1 \implies \mathop{\mathrm{Im}} (f_2\circ\varphi_2^{-1}\circ g_1) = 0 [/mm],
und so weiter.
Viele Grüße
Rainer
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