Exakte Sequenzen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo alle miteinander!
Sei $A$ ein Ring. Für jeden $A$-Modul $Y$ ist dann der partielle [mm] $\operatorname{Hom}$-Funktor $\operatorname{Hom}(\bullet,Y)\colon (A-\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\longrightarrow\mathbf{Ab}$ [/mm] links-exakt. Dies ist ja nichts anderes als die Aussage:
Sei $A$ ein Ring. Aus der Exaktheit einer Sequenz [mm] $X'\longrightarrow X\longrightarrow X''\longrightarrow [/mm] 0$ von $A$-Moduln folgt für jeden $A$-Modul $Y$ die Exaktheit der Sequenz [mm] $\operatorname{Hom}(X',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X,Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X'',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(0,Y)$ [/mm] von abelschen Gruppen.
Mich würde jetzt die umgekehrte Aussage interessieren, also
| Aufgabe | | Sei $A$ ein Ring und [mm] $X'\longrightarrow X\longrightarrow X''\longrightarrow [/mm] 0$ eine Sequenz von $A$-Moduln. Ist für jeden $A$-Modul $Y$ die Sequenz [mm] $\operatorname{Hom}(X',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X,Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X'',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(0,Y)$ [/mm] von abelschen Gruppen exakt, so auch die Ausgangssequenz. |
Ich werde ja vermutlich einfach geschickt feste Moduln für $Y$ einsetzen müssen. Aber ich komme nicht wirklich weiter. Kann mir jemand einen Ansatz liefern?
Vielen Dank und Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Ist das hier das richtige Forum? Es geht zwar um Moduln, aber Lineare Algebra ist ja eigentlich etwas anderes...
|
|
| |
|
Ich bin immer noch interessiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 15.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]A[/mm] ein Ring. Für jeden [mm]A[/mm]-Modul [mm]Y[/mm] ist dann der partielle
> [mm]\operatorname{Hom}[/mm]-Funktor
> [mm]\operatorname{Hom}(\bullet,Y)\colon (A-\operatorname{Mod})^{\operatorname{op}}\longrightarrow\mathbf{Ab}[/mm]
> links-exakt. Dies ist ja nichts anderes als die Aussage:
>
> Sei [mm]A[/mm] ein Ring. Aus der Exaktheit einer Sequenz
> [mm]X'\longrightarrow X\longrightarrow X''\longrightarrow 0[/mm] von
> [mm]A[/mm]-Moduln folgt für jeden [mm]A[/mm]-Modul [mm]Y[/mm] die Exaktheit der
> Sequenz
> [mm]\operatorname{Hom}(X',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X,Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X'',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(0,Y)[/mm]
> von abelschen Gruppen.
> Mich würde jetzt die umgekehrte Aussage interessieren,
> also
>
> Sei [mm]A[/mm] ein Ring und [mm]X'\longrightarrow X\longrightarrow X''\longrightarrow 0[/mm]
> eine Sequenz von [mm]A[/mm]-Moduln. Ist für jeden [mm]A[/mm]-Modul [mm]Y[/mm] die
> Sequenz
> [mm]\operatorname{Hom}(X',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X,Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(X'',Y)\longleftarrow\operatorname{Hom}(0,Y)[/mm]
> von abelschen Gruppen exakt, so auch die Ausgangssequenz.
>
>
> Ich werde ja vermutlich einfach geschickt feste Moduln für
> [mm]Y[/mm] einsetzen müssen. Aber ich komme nicht wirklich weiter.
> Kann mir jemand einen Ansatz liefern?
Nein, grad so spontan nicht. Ich vermute, dass (wenn es denn stimmt) du fuer eine feste Sequenz und moeglicherweise sogar fuer einen festen Teil der Sequenz (wo du Kern = Bild zeigen willst) einen speziellen Modul $Y$ konstruieren musst.
Eventuell habe ich morgen etwas Zeit darueber nachzudenken bzw. damit herumzuspielen...
> P.S.: Ist das hier das richtige Forum? Es geht zwar um
> Moduln, aber Lineare Algebra ist ja eigentlich etwas
> anderes...
Och, man kann es durchaus als lineare Algebra auffassen. Geht ja einfach um Homomorphismen 
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
folgender Vorschlag:
$X' [mm] \xrightarrow{u} X\xrightarrow{v} [/mm] X'' [mm] \rightarrow [/mm] 0$ die enstprechenden Abb. bei den Homomorphismen bezeichne ich mit einem Überstrich.
1) Seien $Y=X''/im(v)$ und $f: X'' [mm] \twoheadrightarrow [/mm] Y$ die kanonische Projektion.
Da [mm] $\bar{v}(f)=f \circ [/mm] v=0$ und [mm] $\bar{v}$ [/mm] injektiv ist f=0 und damit $im(v)=X''$.
2)Seien $Y=X/im(u)$ und $g: X'' [mm] \twoheadrightarrow [/mm] Y$ die kanonische Projektion.
Wieder ist [mm] $\bar{u}(g)=0$ [/mm] und damit [mm] $g\in ker(\bar{u})=im(\bar{v})$.
[/mm]
Damit existiert ein $g^*$ mit [mm] $g=g^*\circ [/mm] v$ und damit [mm] $im(u)=ker(g)\subseteq [/mm] ker(v)$
3)Seien $Y=X''$ und [mm] $h=id_{X''}$.
[/mm]
[mm] $0=(\bar{u}\circ \bar{v})(f)=f\circ v\circ [/mm] u= [mm] v\circ [/mm] u$ und damit die andere Richtung der Ungleichung aus 2).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Sa 15.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> folgender Vorschlag:
>
> [mm]X' \xrightarrow{u} X\xrightarrow{v} X'' \rightarrow 0[/mm] die
> enstprechenden Abb. bei den Homomorphismen bezeichne ich
> mit einem Überstrich.
> 1) Seien [mm]Y=X''/im(v)[/mm] und [mm]f: X'' \twoheadrightarrow Y[/mm] die
> kanonische Projektion.
> Da [mm]\bar{v}(f)=f \circ v=0[/mm] und [mm]\bar{v}[/mm] injektiv ist f=0 und
> damit [mm]im(v)=X''[/mm].
> 2)Seien [mm]Y=X/im(u)[/mm] und [mm]g: X'' \twoheadrightarrow Y[/mm] die
> kanonische Projektion.
> Wieder ist [mm]\bar{u}(g)=0[/mm] und damit [mm]g\in ker(\bar{u})=im(\bar{v})[/mm].
>
> Damit existiert ein [mm]g^*[/mm] mit [mm]g=g^*\circ v[/mm] und damit
> [mm]im(u)=ker(g)\subseteq ker(v)[/mm]
> 3)Seien [mm]Y=X''[/mm] und
> [mm]h=id_{X''}[/mm].
> [mm]0=(\bar{u}\circ \bar{v})(f)=f\circ v\circ u= v\circ u[/mm] und
> damit die andere Richtung der Ungleichung aus 2).
Ja, so was in etwa meinte ich 
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hi ihr beiden!
Nur damit ihr euch keine Sorgen macht: Ich habe die Antworten und Bemerkungen gelesen und mich sehr gefreut. Ich habe nur im Moment keine Zeit, ernsthaft über Mathe nachzudenken, aber ich melde mich nochmal hierzu.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Vielen Dank! Mir ist nun alles klar.
|
|
|
|
