Exaktheit, eulersche multiplik < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist die folgende DGL in [mm] \IR^2 [/mm] exakt?
[mm] (2y^3-5xy) [/mm] + [mm] (y^2x-3x^2)y' [/mm] =0
Man suche ggf einen Eulerschen Multiplikator der Form [mm] x^{\alpha}y^{\beta} [/mm] und gebe eine Stammfunktion an |
Hallo zusammen,
bearbeite grade folgende Aufgabe und komme bei der Bestimmung des Eulerschen Multiplikators nicht weiter!
Habe so angefangen:
[mm] (2y^3-5xy)dx [/mm] + [mm] (y^2x-3x^2)dy [/mm] =0
Sei g(x,y)= [mm] (2y^3-5xy) [/mm] und h(x,y)= [mm] (y^2x-3x^2)
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dy} [/mm] g(x,y) = [mm] 6y^2 [/mm] -5x
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] h(x,y) = [mm] y^2 [/mm] -6x
Es gilt [mm] \bruch{d}{dy} [/mm] g(x,y) [mm] \not= \bruch{d}{dx} [/mm] h(x,y)
=> DGL nicht exakt
bestimme den eulerschen multiplikator
[mm] (\mu g)_y [/mm] = [mm] (\mu*h)_x
[/mm]
[mm] \mu_y [/mm] *g [mm] +\mu *g_y [/mm] = [mm] \mu_x [/mm] *h + [mm] \mu *h_x
[/mm]
[mm] \mu' x(2y^3 [/mm] -5xy) + [mm] \mu(6y^2 [/mm] -5x) = [mm] \mu'y(y^2x -3x^2) +\mu(y^2 [/mm] -6x)
[mm] \mu' (2xy^3-5x^2y) [/mm] - [mm] \mu'(xy^3-3x^3) [/mm] = [mm] \mu(y^2-6x) [/mm] - [mm] \mu(6y^2 [/mm] -5x)
[mm] \mu'(xy^3-2x^2y) [/mm] = [mm] \mu(-5y^2 [/mm] -x)
[mm] \mu' xy(y^2-2x) [/mm] = [mm] \mu(-5y^2-x)
[/mm]
bin mir allerdings nicht sicher ob ich das so richtig mache und wie es weitergehen soll!! Kann mir hier jemand irgendwie weiterhelfen?
Gruß,
Kampfkekschen
|
|
| |
|
Hallo Kampfkekschen,
> Ist die folgende DGL in [mm]\IR^2[/mm] exakt?
> [mm](2y^3-5xy)[/mm] + [mm](y^2x-3x^2)y'[/mm] =0
> Man suche ggf einen Eulerschen Multiplikator der Form
> [mm]x^{\alpha}y^{\beta}[/mm] und gebe eine Stammfunktion an
> Hallo zusammen,
>
> bearbeite grade folgende Aufgabe und komme bei der
> Bestimmung des Eulerschen Multiplikators nicht weiter!
> Habe so angefangen:
>
> [mm](2y^3-5xy)dx[/mm] + [mm](y^2x-3x^2)dy[/mm] =0
> Sei g(x,y)= [mm](2y^3-5xy)[/mm] und h(x,y)= [mm](y^2x-3x^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dy}[/mm] g(x,y) = [mm]6y^2[/mm] -5x
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] h(x,y) = [mm]y^2[/mm] -6x
> Es gilt [mm]\bruch{d}{dy}[/mm] g(x,y) [mm]\not= \bruch{d}{dx}[/mm] h(x,y)
> => DGL nicht exakt
>
> bestimme den eulerschen multiplikator
> [mm](\mu g)_y[/mm] = [mm](\mu*h)_x[/mm]
> [mm]\mu_y[/mm] *g [mm]+\mu *g_y[/mm] = [mm]\mu_x[/mm] *h + [mm]\mu *h_x[/mm]
> [mm]\mu' x(2y^3[/mm]
> -5xy) + [mm]\mu(6y^2[/mm] -5x) = [mm]\mu'y(y^2x -3x^2) +\mu(y^2[/mm] -6x)
Es muss doch hier stehen:
[mm]\mu_{y} (2y^3 -5xy) + \mu(6y^2 -5x) = \mu_{x}(y^2x -3x^2) +\mu(y^2 -6x)[/mm]
> [mm]\mu' (2xy^3-5x^2y)[/mm] - [mm]\mu'(xy^3-3x^3)[/mm] = [mm]\mu(y^2-6x)[/mm] -
> [mm]\mu(6y^2[/mm] -5x)
> [mm]\mu'(xy^3-2x^2y)[/mm] = [mm]\mu(-5y^2[/mm] -x)
> [mm]\mu' xy(y^2-2x)[/mm] = [mm]\mu(-5y^2-x)[/mm]
>
> bin mir allerdings nicht sicher ob ich das so richtig mache
> und wie es weitergehen soll!! Kann mir hier jemand
> irgendwie weiterhelfen?
>
> Gruß,
> Kampfkekschen
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Di 13.03.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
der eulersche Multiplikator ist:
[mm] I(x,y)\;=\;x^{-27}*y^{-16}
[/mm]
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
Danke für die Hilfe und fürs bestimmen, des Eulerschen Multiplikators!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Do 15.03.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo Kampfkekschen,
> Danke für die Hilfe und fürs bestimmen, des Eulerschen
> Multiplikators!!
Bitteschön.
Du bist Dir im Klaren darüber, wie man ihn berechnet ?
LG, Martinius
|
|
|
|
