Exist. stets Obermenge? < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo!
Sei X eine Menge. Existiert dann sicher eine weitere Menge M, so dass [mm] X\varsubsetneq{}M [/mm] ? Falls ja, warum gilt das? Ich finde kein Axiom oder ähnliches, das das vorraussetzt.
Viele Grüße
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Hallo,
> Hallo!
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> Sei X eine Menge. Existiert dann sicher eine weitere Menge
> M, so dass [mm]X\varsubsetneq{}M[/mm] ? Falls ja, warum gilt das?
> Ich finde kein Axiom oder ähnliches, das das
> vorraussetzt.
diese Frage sollte mit dem Begriff der Potenzmenge eigentlich hinlänglich beantwortet sein.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Hallo!
> >
> > Sei X eine Menge. Existiert dann sicher eine weitere Menge
> > M, so dass [mm]X\varsubsetneq{}M[/mm] ? Falls ja, warum gilt das?
> > Ich finde kein Axiom oder ähnliches, das das
> > vorraussetzt.
>
> diese Frage sollte mit dem Begriff der Potenzmenge
> eigentlich hinlänglich beantwortet sein.
Inwiefern denn das? Es gilt zwar [mm] X\in{}P(X) [/mm] , aber doch nicht [mm] X\subset{}P(X) [/mm] , oder wie meinst du das?
>
> Gruß, Diophant
Viele Grüße
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Hiho,
ja, da hat Diophant ein bisschen vorschnell geantwortet.
Die Potenzmenge ist keine Obermenge von X, aber eine größere Menge, so dass auf jedenfall bspw. $X [mm] \cup \mathcal{P}(X)$ [/mm] eine Obermenge ist.
Eine andere Möglichkeit hat die ja aber Marc schon aufgezeigt.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Siehe unten das Problem hieran.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Axiom96,
> Sei X eine Menge. Existiert dann sicher eine weitere Menge
> M, so dass [mm]X\varsubsetneq{}M[/mm] ? Falls ja, warum gilt das?
> Ich finde kein Axiom oder ähnliches, das das
> vorraussetzt.
Die Menge [mm] $M=X\cup\{X\}$ [/mm] müsste eigentlich das Gewünschte leisten.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axion96,
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> > Sei X eine Menge. Existiert dann sicher eine weitere Menge
> > M, so dass [mm]X\varsubsetneq{}M[/mm] ? Falls ja, warum gilt das?
> > Ich finde kein Axiom oder ähnliches, das das
> > vorraussetzt.
>
> Die Menge [mm]M=X\cup\{\{X\}\}[/mm] müsste eigentlich das
> Gewünschte leisten.
>
> Viele Grüße
> Marc
Hallo,
Stimmt, du hast Recht - eigentlich müsste sie das. Allerdings gibt es da ein Problem: Ich habe folgende Definition:
Seien X und Y Teilmengen einer Menge M. Dann ist [mm] X\cup{}Y:=\{x\in{}M:x\in{}X\lor{}x\in{}Y\} [/mm] !
Das heißt um eine solche Menge zu bilden, wie du sie genannt hast, müsste zuerst sichergestellt sein, dass schon eine Obermenge von X existiert!
Hast du da vielleicht noch eine Idee?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 18.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Axiom96,
du möchtest in ZFC arbeiten?
Dann gibt es zu je zwei Mengen X und Y STETS eine (eindeutig bestimmte) Menge [mm] $X\cup [/mm] Y$, die genau die Elemente enthält, die in X oder Y enthalten sind.
Skizze eines Beweises der Existenz:
Gemäß Paarmengenaxiom ist [mm] $\{X,Y\}$ [/mm] eine Menge. Die gemäß Vereinigungsaxiom existierende Menge [mm] $\bigcup\{X,Y\}$ [/mm] leistet das Gewünschte.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96,
>
> du möchtest in ZFC arbeiten?
>
> Dann gibt es zu je zwei Mengen X und Y STETS eine
> (eindeutig bestimmte) Menge [mm]X\cup Y[/mm], die genau die Elemente
> enthält, die in X oder Y enthalten sind.
>
> Skizze eines Beweises der Existenz:
> Gemäß Paarmengenaxiom ist [mm]\{X,Y\}[/mm] eine Menge. Die
> gemäß Vereinigungsaxiom existierende Menge [mm]\bigcup\{X,Y\}[/mm]
> leistet das Gewünschte.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo,
ich habe mir gerade den wikipedia-Artikel zur ZFC durchgelesen, mir scheint aber nicht, als sei dies die meinem Buch zugrundeliegende Mengenlehre. Es wird darin leider nicht genannt, um welche es sich handelt. Die Formulierungen sind ähnlich zu denen in anderen Büchern, die mit Cantor arbeiten - aber dass zum Beispiel, um die Vereinigung con zwei Mengen zu definieren diese Teilmenge einer weiteren Menge sein müssen habe ich so zum ersten mal gefunden. Jedenfalls wird die Mengenlehre (ich spreche die ganze Zeit von einem Analysis 1-Buch) in gewohnter Oberflächlichkeit gestreift. Ich habe mich nur gefragt, ob eine Obermenge stets existiert, aber - da im folgenden bei Sätzen immer zuerst vorausgesetzt wird, dass alle betrachteten Mengen Teilmenge einer Obermenge sind - vermute ich einmal, dass die Existenz einer Obermenge in dieser Formulierung nicht herzuleiten ist. Manche anderen Dinge werden auch - wenngleich für den Anfänger wie mich versteckt - einfach so vorausgesetzt, ohne Erklärung, beispielsweise "Ist X eine Menge, so ist auch ihre Potenzmenge eine Menge". Diese wird auch nur verbal eingeführt durch "P(X) enthält gerade alle Teilmengen von X als Elemente". Auf eine Definition á la [mm] X:=\{x\in{}M:E(x)\} [/mm] wird hier also auch verzichtet. Ich werde das also so hinnehmen müssen, ohne es zu hinterfragen.
Viele Grüße und Vielen Dank an alle Beteiligten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 18.10.2012 | | Autor: | hippias |
Diese Menge existiert, wenn man elementare Mengenbildungsaxiome zulaesst: Man bilde naemlich zu $M$ die sog. Russel-Menge [mm] $R_{M}:= \{x\in M|x\not\in x\}$. [/mm] Dies ist eine Menge. Desweiteren ist [mm] $\{R_{m}\}$ [/mm] eine Menge und somit auch [mm] $M\cup \{R_{m}\}$. [/mm] Wenn [mm] $R_{m}\not\in [/mm] M$ ist, dann hast Du Dein gesuchtes Objekt.
Angenommen [mm] $R_{M}\in [/mm] M$. Wenn nun zusaetzlich [mm] $R_{M}\not\in R_{M}$ [/mm] waere, dann waere nach Definition von [mm] $R_{M}$ [/mm] auch [mm] $R_{M}\in R_{M}$; [/mm] Widerspruch zu [mm] $R_{M}\not\in R_{M}$. [/mm] Also muesste [mm] $R_{M}\in R_{M}$ [/mm] gelten. Aber dann ist nach Definition [mm] $R_{M}\not\in R_{M}$: [/mm] Widerspruch.
Damit fuehrt die Annahme [mm] $R_{M}\in [/mm] M$ in jedem Falle auf einen Widerspruch, weshalb [mm] $R_{M}\not\in [/mm] M$ gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marc,
> Hallo Axiom96,
>
> > Sei X eine Menge. Existiert dann sicher eine weitere Menge
> > M, so dass [mm]X\varsubsetneq{}M[/mm] ? Falls ja, warum gilt das?
> > Ich finde kein Axiom oder ähnliches, das das
> > vorraussetzt.
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> Die Menge [mm]M=X\cup\{X\}[/mm] müsste eigentlich das Gewünschte
> leisten.
siehe hippias Antwort. Deine Idee ist gut, nur muß man klären, dass
$X [mm] \notin X\,,$ [/mm] andernfalls wäre $X [mm] \cup \{X\}=X\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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