Existenz/Eindeutigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 13.11.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe:
Sei A [mm] \in Hom(K^{n},K^{m}) [/mm] als (m [mm] \times [/mm] n)Matrix bzgl. der Standardbasis dargestellt und sei y [mm] \in K^{m}, [/mm] so dass [mm] A^{-1}(y)\not=\emptyset. [/mm] Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
1. Ax=0 hat nur die triviale Lösung.
2. rgA=n.
Also meine Idee war folgende, aber ich glaub das stimmt so noch nicht ganz...
Aus rgA = dim [mm] K^{n} [/mm] - dim KerA = n - dim KerA folgt KerA = 0 [mm] \gdw [/mm]
dim KerA = 0 [mm] \gdw [/mm] rgA = n.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Bobby!
> Also meine Idee war folgende, aber ich glaub das stimmt so noch nicht ganz...
> Aus rgA = dim $ [mm] K^{n} [/mm] $ - dim KerA = n - dim KerA folgt KerA = 0 $ [mm] \gdw [/mm] $
> dim KerA = 0 $ [mm] \gdw [/mm] $ rgA = n.
Doch, das hast du schon richtig gelöst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Ist nämlich [mm] $f:V\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung und $A$ eine Darstellungsmatrix von $f$, dann gilt $rg(A)=dim(Bild(f))$; das ist hier das wichtigste. Dann nämlich geht die aus dem Homomorphiesatz bekannte Gleichung $dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))$ in $dim(Kern(f)) = n-rg(A)$ über; daraus folgt dann sofort die Behauptung, sprich wir haben $rg(A)=n$ genau dann, wenn [mm] $dim(Kern(f))=0\gdw Kern(f)=\{0\}$.
[/mm]
Schön!
Liebe Grüße,
Hanno
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