Existenz Grenzwert < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Karl87 |
Hallo,
habe mal eine Frage bzgl der Bildung des Grenzwertes einer Sekantensteigung und dessen Fixierung durch den Differenzenquotienten.
Habe mir (leider) bisher nie Gedanken darüber gemacht und die Existenz des Grenzwertes hingenommen.
Warum ist der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] wohldefiniert?
Da ja eigentlich sowohl Nenner als auch Zähler für [mm] x\rightarrow\ x_{0} [/mm] gegen 0 gehen. Wieso hat der Quotient einen Grenzwert?
Würde mich über eine Antwort freuen.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mo 20.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> habe mal eine Frage bzgl der Bildung des Grenzwertes einer
> Sekantensteigung und dessen Fixierung durch den
> Differenzenquotienten.
>
> Habe mir (leider) bisher nie Gedanken darüber gemacht und
> die Existenz des Grenzwertes hingenommen.
>
> Warum ist der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> wohldefiniert?
>
> Da ja eigentlich sowohl Nenner als auch Zähler für
> [mm]x\rightarrow\ x_{0}[/mm] gegen 0 gehen. Wieso hat der Quotient
> einen Grenzwert?
Hallo,
den hat er gar nicht immer. Das hängt ganz von der konkret verwendeten Funktion und von der Stelle ab. Die Wurzelfunktion liefert z.B. bei Annährung an die Stelle 0 den uneigentlichen Grenzwert +unendlich.
Die Betragsfunktion f(x)=|x| liefert an der Stelle x=0 wahlweise -1 oder 1, je nach Annäherungsrichtung.
Gruß Abakus
>
> Würde mich über eine Antwort freuen.
>
> Viele Grüße
> Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Karl87 |
Okay, verstehe ich. Aber bei der Annäherung von [mm] x\rightarrow\ x_{0} [/mm] müsste doch Zähler und Nenner 0 werden und somit müsste doch als Ergebnis der unbestimmte Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] resultieren. Weißt du was ich meine?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Karl!
> Okay, verstehe ich. Aber bei der Annäherung von
> [mm]x\rightarrow\ x_{0}[/mm] müsste doch Zähler und Nenner 0
> werden und somit müsste doch als Ergebnis der unbestimmte
> Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm] resultieren. Weißt du was ich meine?
Weil die Division durch Null und erst recht der Ausdruck [mm]\frac 00[/mm] nicht definiert ist, muss man sich mit einem Grenzwert behelfen. (Unterscheide hier zwischen "ich setze für [mm]x[/mm] einfach [mm]x_0[/mm] ein" und "ich bilde den Grenzwert für [mm]x\to x_0[/mm]!)
Der Ausdruck [mm]\frac 00[/mm] kann so ziemlich alles bedeuten. Aber je nach Funktion und Stelle, die du untersuchst, kann der Grenzwert verschiedene Werte annehmen.
Du darfst hier nicht Zähler und Nenner getrennt betrachtetn. Bei diesen Differentialquotienten läuft es meistens darauf hinaus, dass man den Nenner kürzen kann und so sehr einfach den Grenzwert bilden kann.
Bei deiner ursprünglichen Frage ging es um die Wohldefiniertheit des Grenzwertes und wie abakus schon schrieb, muss diese nicht unbedingt immer gegeben sein.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:49 Di 21.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Karl,
> Aber bei der Annäherung von
> [mm]x\rightarrow\ x_{0}[/mm] müsste doch Zähler und Nenner 0
> werden und somit müsste doch als Ergebnis der unbestimmte
> Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm] resultieren. Weißt du was ich meine?
Du willst die Grenzwertsätze ohne Voraussetzung benutzen!
Es ist nur dann
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))}{\lim_{x\to x_0}(x-x_0)},
[/mm]
falls folgendes gelten würde(!):
[mm] \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=a\in\IR\wedge\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=b\in\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Kann das gut gehen?
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Di 21.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> habe mal eine Frage bzgl der Bildung des Grenzwertes einer
> Sekantensteigung und dessen Fixierung durch den
> Differenzenquotienten.
>
Ergänzend:
> Habe mir (leider) bisher nie Gedanken darüber gemacht
> und
> die Existenz des Grenzwertes hingenommen.
Das ist nicht gut !!
>
> Warum ist der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> wohldefiniert?
Das ist er i.a. nicht !
Definition der Differenzierbarkeit:
Sei I ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] I.
f heißt in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
[mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
existiert.
FRED
>
> Da ja eigentlich sowohl Nenner als auch Zähler für
> [mm]x\rightarrow\ x_{0}[/mm] gegen 0 gehen. Wieso hat der Quotient
> einen Grenzwert?
>
> Würde mich über eine Antwort freuen.
>
> Viele Grüße
> Karl
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