Existenz ONB symmetrische Mat < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Hi =)
Habe mal ne Frage zu dem Satz, der besagt, dass symmetrische Matrizen eine ONB aus Eigenvektoren haben.
Bedeutet das schlicht, dass diese ONB existiert, oder sind die EV bereits die Basis, wobei die EV nur noch normiert werden müssen, oder muss ich per Gram Schmidt drangehen?
Und wie ist das dann bei einer orthogonalen Basis? Dort bilden die Spalten+Zeilen eine ONB, aber sind die Spalten und Zeilen da bereits normiert und müsste ich da auch wieder Gram Schmidt anwenden, oder nicht?
Danke für die Klarstellung :)
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Hallo kappen,
> Hi =)
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> Habe mal ne Frage zu dem Satz, der besagt, dass
> symmetrische Matrizen eine ONB aus Eigenvektoren haben.
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> Bedeutet das schlicht, dass diese ONB existiert, oder sind
> die EV bereits die Basis, wobei die EV nur noch normiert
> werden müssen, oder muss ich per Gram Schmidt drangehen?
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> Und wie ist das dann bei einer orthogonalen Basis? Dort
> bilden die Spalten+Zeilen eine ONB, aber sind die Spalten
> und Zeilen da bereits normiert und müsste ich da auch
> wieder Gram Schmidt anwenden, oder nicht?
Es ist so:
1) Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte.
2) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
3) Hat eine symmetr. Matrix einen k-fachen Eigenwert (also EW der Vielfachheit k), so ist der zugeh. Eigeraum auch k-dimensional
2) und 3) sichern dir die Existenz einer OB aus Eigenvektoren (den Eigenvektoren der Matrix).
Daraus kannst du durch einfache Normierung eine ONB basteln.
Gruß
schachuzipus
> Danke für die Klarstellung :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay dankeschön.
Sehe ich das dann richtig, dass Gram Schmidt aus linear unabhängigen Vektoren (Basis?) "nur" orthogonale Basisvektoren macht?
Und somit kann ich linear unabhängige, bereits orthogonale Basisvektoren einfach normieren um eine ONB zu bilden?
danke & schöne Grüßé
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Hallo nochmal,
> Okay dankeschön.
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> Sehe ich das dann richtig, dass Gram Schmidt aus linear
> unabhängigen Vektoren (Basis?) "nur" orthogonale
> Basisvektoren macht?
Jo! Es muss aber keine Basis sein, GS macht aus einem linear unabh. System ein Orthogonalsystem
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> Und somit kann ich linear unabhängige, bereits orthogonale
> Basisvektoren einfach normieren um eine ONB zu bilden?
Jo!
>
> danke & schöne Grüßé
Jo!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 16.02.2010 | | Autor: | kappen |
Ist ja genial :-*
Danke
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