Existenz Orthonormalbasis < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR^n \to \IR^k [/mm] in [mm] C^1, z\in\IR^n
[/mm]
i) Zeigen Sie die Existenz einer Orthonormalbasis von [mm] R^k [/mm] mit
< [mm] DF(z)^Te_i,DF(z)^Te_j>=\delta_{ij}\lambda_i, \lambda_1,...,\lambda_m>0, \lambda_{m+1}=...=\lmabda_k=0,
[/mm]
mit m= Rang(DF(z))
ii) Falls [mm] \pi:\IR^k\to\IR^n \in C^1 [/mm] und [mm] \nu:\IR^m\to\IR^k \in C^1 [/mm] existieren mit [mm] F(y)=\nu(\pi(F(y)), [/mm] für alle [mm] y\inB_p(z), [/mm] so gilt
[mm] (\wurzel{det D\nu^T D\nu})(\pi(F(z))\wurzel{det D(\pi\circF)(z)D(\pi\circF)^T(z)}=\produkt_{i=1}^{m}\wurzel{\lmabda_i} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
i)
ich habe bei der Aufgabe starke Verständnisschwierigkeiten. Wir haben leider kein Skript, so das ich dort nachschauen könnte,nur Literatur die ich leider nicht immer besitze. Was eine Orthonormalbasis ist, hoffe ich zumindest, weiß ich. Das müssten linear unabhängige Vektoren sein(Basisvektoren), die hier aber senkrecht aufeinander stehen, so dass das Skalarprodukt von 2 beliebigen Basisvektoren jeweils 0 ist. Bei der Aufgabe hier hilft mir aber leider nicht wirklich weiter, ich weiß nicht, wie ich das hier zeigen kann.
ii)
Hier hörts bei mir noch eher auf, ich versteh wenn ich ehrlich bin einfach nicht wie ich [mm] (\wurzel{det D\nu^T D\nu})(\pi(F(z))\wurzel{det D(\pi\circF)(z)D(\pi\circF)^T(z)}=\produkt_{i=1}^{m}\wurzel{\lmabda_i} [/mm] damit umgehen soll, bzw. wie ich den Ausdruck zeigen kann.
Hat vielleicht Jemand ein paar Hinweise so dass ich wenigstens erstmal zu 100% verstehen kann, was ich nun genau zeigen soll und wie ich das mache?
Vielen Dank
Gruß Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei F: [mm]\IR^n \to \IR^k[/mm] in [mm]C^1, z\in\IR^n[/mm]
> i) Zeigen Sie die
> Existenz einer Orthonormalbasis von [mm]R^k[/mm] mit
> < [mm]DF(z)^Te_i,DF(z)^Te_j>=\delta_{ij}\lambda_i, \lambda_1,...,\lambda_m>0, \lambda_{m+1}=...=\lmabda_k=0,[/mm]
1. Was sind denn die [mm] \lambda_i [/mm] ?? Klär mich auf.
2. So wie es dasteht, ist die Aussage falsch, falls F die Nullabbildung ist.
Was fehlt noch an Informationen ? Hast Du die Aufgabe vollständig wiedergegeben ?
>
> mit m= Rang(DF(z))
>
> ii) Falls [mm]\pi:\IR^k\to\IR^n \in C^1[/mm] und [mm]\nu:\IR^m\to\IR^k \in C^1[/mm]
> existieren mit [mm]F(y)=\nu(\pi(F(y)),[/mm] für alle [mm]y\inB_p(z),[/mm] so
> gilt
> [mm](\wurzel{det D\nu^T D\nu})(\pi(F(z))\wurzel{det D(\pi\circF)(z)D(\pi\circF)^T(z)}=\produkt_{i=1}^{m}\wurzel{\lmabda_i}[/mm]
Was ist denn $ [mm] y\inB_p(z), [/mm] $ ????????????
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> i)
> ich habe bei der Aufgabe starke
> Verständnisschwierigkeiten. Wir haben leider kein Skript,
> so das ich dort nachschauen könnte,nur Literatur die ich
> leider nicht immer besitze. Was eine Orthonormalbasis ist,
> hoffe ich zumindest, weiß ich. Das müssten linear
> unabhängige Vektoren sein(Basisvektoren), die hier aber
> senkrecht aufeinander stehen, so dass das Skalarprodukt von
> 2 beliebigen Basisvektoren jeweils 0 ist. Bei der Aufgabe
> hier hilft mir aber leider nicht wirklich weiter, ich weiß
> nicht, wie ich das hier zeigen kann.
>
> ii)
> Hier hörts bei mir noch eher auf, ich versteh wenn ich
> ehrlich bin einfach nicht wie ich [mm](\wurzel{det D\nu^T D\nu})(\pi(F(z))\wurzel{det D(\pi\circF)(z)D(\pi\circF)^T(z)}=\produkt_{i=1}^{m}\wurzel{\lmabda_i}[/mm]
> damit umgehen soll, bzw. wie ich den Ausdruck zeigen kann.
>
> Hat vielleicht Jemand ein paar Hinweise so dass ich
> wenigstens erstmal zu 100% verstehen kann, was ich nun
> genau zeigen soll und wie ich das mache?
>
> Vielen Dank
> Gruß Kayle
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:58 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Kayle |
> > Sei F: [mm]\IR^n \to \IR^k[/mm] in [mm]C^1, z\in\IR^n[/mm]
> > i) Zeigen
> Sie die
> > Existenz einer Orthonormalbasis von [mm]R^k[/mm] mit
> > < [mm]DF(z)^Te_i,DF(z)^Te_j>=\delta_{ij}\lambda_i, \lambda_1,...,\lambda_m>0, \lambda_{m+1}=...=\lmabda_k=0,[/mm]
>
>
> 1. Was sind denn die [mm]\lambda_i[/mm] ?? Klär mich auf.
Ja, also, bei uns waren [mm] \lambda_n [/mm] in dem Zusammenhang, Basis etc. immer die Eigenwerte. Ich habe die Aufgabe korrekt wiedergegeben, genauso wie ich sie auch habe.
>
> 2. So wie es dasteht, ist die Aussage falsch, falls F die
> Nullabbildung ist.
[mm] \lambda_{m+1}=...=\lambda_k=0 [/mm] , so ists besser, hatte nen Tippfehler drin, aber ändert leider nichts. Das mit der Nullabbildung ist ein guter Einwand, da scheinst du Recht zu haben. Dann schließ ich das einfach mal aus, denn muss ja trotzdem Irgendwie die Existenz der Orthonormalbasis zeigen.
>
> Was fehlt noch an Informationen ? Hast Du die Aufgabe
> vollständig wiedergegeben ?
Nein. Ja.
> >
> > mit m= Rang(DF(z))
> >
> > ii) Falls [mm]\pi:\IR^k\to\IR^n \in C^1[/mm] und [mm]\nu:\IR^m\to\IR^k \in C^1[/mm]
> > existieren mit [mm]F(y)=\nu(\pi(F(y)),[/mm] für alle [mm]y\inB_p(z),[/mm] so
> > gilt
> > [mm](\wurzel{det D\nu^T D\nu})(\pi(F(z))\wurzel{det D(\pi\circF)(z)D(\pi\circF)^T(z)}=\produkt_{i=1}^{m}\wurzel{\lmabda_i}[/mm]
>
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> Was ist denn [mm]y\in B_p(z),[/mm] ????????????
Ja auch hier hab ich mich leider vertippt, richtig müsste es lauten: [mm] y\in B_p(z)
[/mm]
Grüße Kayle
>
> FRED
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Hallo,
> >
> > i)
> > ich habe bei der Aufgabe starke
> > Verständnisschwierigkeiten. Wir haben leider kein Skript,
> > so das ich dort nachschauen könnte,nur Literatur die ich
> > leider nicht immer besitze. Was eine Orthonormalbasis ist,
> > hoffe ich zumindest, weiß ich. Das müssten linear
> > unabhängige Vektoren sein(Basisvektoren), die hier aber
> > senkrecht aufeinander stehen, so dass das Skalarprodukt von
> > 2 beliebigen Basisvektoren jeweils 0 ist. Bei der Aufgabe
> > hier hilft mir aber leider nicht wirklich weiter, ich weiß
> > nicht, wie ich das hier zeigen kann.
> >
> > ii)
> > Hier hörts bei mir noch eher auf, ich versteh wenn ich
> > ehrlich bin einfach nicht wie ich [mm](\wurzel{det D\nu^T D\nu})(\pi(F(z))\wurzel{det D(\pi\circF)(z)D(\pi\circF)^T(z)}=\produkt_{i=1}^{m}\wurzel{\lmabda_i}[/mm]
> > damit umgehen soll, bzw. wie ich den Ausdruck zeigen kann.
> >
> > Hat vielleicht Jemand ein paar Hinweise so dass ich
> > wenigstens erstmal zu 100% verstehen kann, was ich nun
> > genau zeigen soll und wie ich das mache?
> >
> > Vielen Dank
> > Gruß Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Kayle |
Hm, kann mir keiner weiterhelfen? Ich steck echt an den 2 Aufgaben total fest.
Gruß Kayle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
die Matrix
[mm] $DF(z)*DF(z)^T$ [/mm]
ist symmetrisch, also ist sie diagonalisierbar und es gibt eine ONB des [mm] \IR^k [/mm] aus Eigenvektoren dieser Matrix
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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