Existenz Strahl zu zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte eine vollständige zusammenhängende Mannigfaltigkeit M, die nicht kompakt ist. Sei x [mm] \in [/mm] M. Zeigen Sie
1) Es gibt eine Folge [mm] $x_n \in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,x_n) \to \infty [/mm] $ für $ n [mm] \to \infty$
[/mm]
2) Es existiert ein Strahl $s: [mm] [0,\infty) \to [/mm] M$ mit s(0)=x |
Zu 1)
vollständig: Jede Cauchy-Folge konvergiert gegen einen Grenzwert in M
nicht kompakt?
Wenn M kompakt wäre besitzte jede Folge in M eine in M konvergente Teilfolge?
Wie drehe ich das um? Es existiert eine Folge in M, die in M nicht konvergiert? Also muss [mm] d(x,x_i)=\infty [/mm] sein? Wie ist das formal korrekt auszudrücken?
Zu 2)
Ein Strahl ist eine Halbgerade. Geometrisch geht dieser Strahl von x nach [mm] $lim_{n\to\infty} x_n$ [/mm] ?
Weiss hier jemand von euch bitte Rat, wie man hier vorgeht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Fr 04.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte eine vollständige zusammenhängende
> Mannigfaltigkeit M, die nicht kompakt ist. Sei x [mm]\in[/mm] M.
> Zeigen Sie
> 1) Es gibt eine Folge [mm]x_n \in M[/mm] mit [mm]d(x,x_n) \to \infty[/mm]
> für [mm]n \to \infty[/mm]
> 2) Es existiert ein Strahl [mm]s: [0,\infty) \to M[/mm]
> mit s(0)=p
> Zu 1)
> vollständig: Jede Cauchy-Folge konvergiert gegen einen
> Grenzwert in M
> nicht kompakt?
> Wenn M kompakt wäre besitzte jede Folge in M eine in M
> konvergente Teilfolge?
>
> Wie drehe ich das um? Es existiert eine Folge in M, die in
> M nicht konvergiert? Also muss [mm]d(x,x_i)=\infty[/mm] sein?
Unsinn !!!
Die Negation von
"Es gibt eine Folge $ [mm] x_n \in [/mm] M $ mit $ [mm] d(x,x_n) \to \infty [/mm] $ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $ "
lautet:
für Folge [mm] (x_n) [/mm] in M gilt: die reelle Folge [mm] (d(x,x_n)) [/mm] enthält eine beschränkte Teilfolge.
> Wie
> ist das formal korrekt auszudrücken?
>
> Zu 2)
> Ein Strahl ist eine Halbgerade. Geometrisch geht dieser
> Strahl von x nach [mm]lim_{n\to\infty} x_n[/mm] ?
>
> Weiss hier jemand von euch bitte Rat, wie man hier vorgeht?
Vielleicht, wenn Du erzählst, was p ist.
FRED
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Danke erstmal :)
Zu 1) Also man nimmt an:
[mm] $d(x,x_n)$ [/mm] enthält eine beschränkte Teilfolge [mm] $d(x,x_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] ? Das ist aber nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass ja schon per Definition der Widerspruch weil wir hier dann einen kompakten metrischen Raum haben... (folgendkompakt)
Ist das aber eine Mannigfaltigkeit und kein metrischen Raum.
Wie ist das sauber zu argumentieren.
Zu 2)
Ja natürlich da ist eben wie oben gesagt p=x gemeint??? Wie muss ich da vorgehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 07.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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