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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das AWP
[mm]x' = t*sin(\frac{1}{tx}),\; x(1) = 2[/mm]
eine eindeutige Lösung auf dem Intervall (0,2) besitzt. |
Diese Aufgabe läuft ja vermutlich auf die Anwendung des Satzes von Picard-Lindelöf hinaus. Das heisst ich verusche zunächst die Lipschitz-Stetigkeit von [mm]t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].
Dazu habe ich mir nun folgendes überlegt:
Sei [mm] f: \mathbb{R}\times(0,2) \mapsto \mathbb{R}: \; (t,x) -> t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].
Es ist [mm]\frac{d}{dx}f \;=\; ... \;=\; -\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}[/mm].
f ist global-lipschitzstetig auf (0,2), denn die partielle Ableitung [mm]d/dx f[/mm] ist betragsmäßig nach oben beschränkt:
[mm]|\frac{d}{dx}f| = |-\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}| = -\frac{|cos(\frac{1}{tx}|}{|x^2|} \leq \frac{1}{|x^2|} < \infty[/mm]
Letzte Ungleichung gilt aufgrund des vorgegebenen Intervalls (0,2).
Passt das so als Nachweis der Liptschitzstetigkeit?!
Dann kann ich ja direkt die globale Version des Picard-Lindelöf-Satzes anwenden und habe ide Behauptung gezeigt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass das AWP
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> [mm]x' = t*sin(\frac{1}{tx}),\; x(1) = 2[/mm]
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> eine eindeutige Lösung auf dem Intervall (0,2) besitzt.
>
> Diese Aufgabe läuft ja vermutlich auf die Anwendung des
> Satzes von Picard-Lindelöf hinaus.
So ist es.
> Das heisst ich verusche
> zunächst die Lipschitz-Stetigkeit von
> [mm]t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].
> Dazu habe ich mir nun folgendes überlegt:
>
> Sei [mm]f: \mathbb{R}\times(0,2) \mapsto \mathbb{R}: \; (t,x) -> t*sin(\frac{1}{tx})[/mm].
Das stimmt schon mal nicht. Es ist t [mm] \in [/mm] (0,2), somit ist f auf (0,2) [mm] \times \IR [/mm] \ { 0 } definiert.
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> Es ist [mm]\frac{d}{dx}f \;=\; ... \;=\; -\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}[/mm].
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> f ist global-lipschitzstetig auf (0,2), denn die partielle
> Ableitung [mm]d/dx f[/mm] ist betragsmäßig nach oben beschränkt:
>
> [mm]|\frac{d}{dx}f| = |-\frac{cos(\frac{1}{tx}}{x^2}| = -\frac{|cos(\frac{1}{tx}|}{|x^2|} \leq \frac{1}{|x^2|} < \infty[/mm]
>
> Letzte Ungleichung gilt aufgrund des vorgegebenen
> Intervalls (0,2).
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> Passt das so als Nachweis der Liptschitzstetigkeit?!
Nein, wie gesagt: t [mm] \in [/mm] (0,2)
FRED
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> Dann kann ich ja direkt die globale Version des
> Picard-Lindelöf-Satzes anwenden und habe ide Behauptung
> gezeigt.
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Ok. Dann schränken wir also [mm]t[/mm] auf dem Intervall (0,2) ein. Das bedeutet aber gleichzeitig, dass die Funktion f nicht Lipschitz-stetig ist auf [mm](0,\infty)[/mm], denn die Ableitung wird in der Nähe von 0 beliebig groß. Damit kann ich den Satz von P-L nicht anwenden.
Also nochmal zum Verständis:
Ich bilde doch Differenzenquotienten der Funktion (also
die Ableitung) und zeige, dass diese nach oben beschränkt ist.
Das funktioniert hier aber nicht. Irgendwelche Tipps?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 23.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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