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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Existenz einer DGL/ODE
Existenz einer DGL/ODE < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Aufgabe
Lösen Sie - falls möglich - die folgende Differentialgleichung:
[mm] x'(t)=1+x(t)^4 [/mm]

Hallo zusammen,

habe leider keinen wirklichen Ansatz zu dieser Aufgabe. Also ich gehe mal davon aus, dass es keine Funktion x(t) gibt, die diese Differentialgleichung erfüllt. Habe mir jetzt überlegt mit Lösungsverfahren da ran zu gehen, aber komme leider nicht auf einen passenden. Wahrscheinlich gibt es dann irgendwann einen Widerspruch.
Welche Lösungsformel könnte man hier verwenden? Oder hat jemand eine andere Idee?

Viele Grüße und danke schon mal,

Tobi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Fr 28.11.2008
Autor: fred97

Tipp. Trennung der Variablen

FRED

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988


> Tipp. Trennung der Variablen
>  
> FRED

Danke für die schnelle Reaktion! Ok, habe dann also Folgendes stehen:

[mm] \gdw \bruch{dx}{dt}=1+x^4 [/mm]

[mm] \gdw \integral{\bruch{1}{1+x^4} dx}=\integral{1 dt} [/mm]

Aber jetzt habe ich noch keinen Widerspruch, das linke Integral ist zwar alles andere als trivial aber trotzdem nicht unlösbar, oder doch?

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Fr 28.11.2008
Autor: fred97

Noch ein Tipp: Partialbruchzerlegung

FRED

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Brauche ich dafür nicht Nullstellen im Nenner, die hier offensichtlich nicht gegeben sind? Sorry, stehe gerade etwas auf dem Schlauch..

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Fr 28.11.2008
Autor: fred97

Der Nenner lässt sich wie folgt faktorisieren

[mm] 1+x^4 [/mm] = [mm] (x^2+bx+c)(x^2+dx+e) [/mm]

Mach mal einen solchen Ansatz ------> Koeffizientenvergleich

FRED

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Leider kann ich nicht ganz folgen... Aber jetzt, nach etwas rumprobieren, konnte ich den Nenner so schreiben:

[mm] 1+x^4 [/mm] = [mm] -(x^2+\wurzel{2}x+1)(-x^2+\wurzel{2}x-1) [/mm]

bzw.:

[mm] =(x^2+\wurzel{2}x+1)(x^2-\wurzel{2}x+1) [/mm]

War das so - oder so ähnlich - gemeint?

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Existenz einer DGL/ODE: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Fr 28.11.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Tobi!


Zunächst noch: [willkommenmr] !!


[ok] Ja, genau so hat das Fred gemeint.


Gruß vom
Roadrunner


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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Vielen Dank für das Willkommen Roadrunner und vielen Dank für die Hilfe Fred!!

Bevor ich weiterrechne...

Wenn ich dann beim Koeffizientenvergleich die 4x4-Matrix (?) aufstelle, ist diese unlösbar?

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Existenz einer DGL/ODE: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Sieht dann so aus und ist unlösbar (?):

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -\wurzel{2} & 1 & \wurzel{2} & 1 \\ 1 & -\wurzel{2} & 1 &\wurzel{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Fr 28.11.2008
Autor: Martinius

Hallo,

wenn Du Freds Vorschlag aufgreifst und [mm] $1+x^4$ [/mm] faktorisierst, dann haben deine beiden Polynome keine rellen Nullstellen. Also musst Du die Partialbruchzerlegung für komplexe Nullstellen benutzen:

[mm] $\integral \bruch{1}{1+x^4}\;dx =\integral \bruch{A*x+B}{x^2+\wurzel{2}*x+1}\;dx+\integral \bruch{C*x+D}{x^2-\wurzel{2}*x+1}\;dx [/mm] $


Dann multiplizieren mit dem Hauptnenner, kürzen, Klammern ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich.

LG, Martinius

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Hier die Koeffizienten, habe einfach das LGS bei "Mitteilung" gelöst:

[mm] \vektor{A \\ B \\C\\D}= \vektor{\bruch{1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm]


Habe dann also:

$ [mm] \integral \bruch{1}{1+x^4}\;dx =\integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx [/mm] $

Sehe leider gerade nicht, wie sich das weiter vereinfachen lässt. Laut Wolfram Integrator aber immer noch integrierbar. Bin ich auf nem falschen Weg...?

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Fr 28.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Tobi1988,

> Hier die Koeffizienten, habe einfach das LGS bei
> "Mitteilung" gelöst:
>  
> [mm]\vektor{A \\ B \\C\\D}= \vektor{\bruch{1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{4}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm]
>  
>
> Habe dann also:
>  
> [mm]\integral \bruch{1}{1+x^4}\;dx =\integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx[/mm]
>
> Sehe leider gerade nicht, wie sich das weiter vereinfachen
> lässt. Laut Wolfram Integrator aber immer noch
> integrierbar. Bin ich auf nem falschen Weg...?


Der Weg ist schon richtig.

Zerlege die gebrochenrationale Polynom wie folgt:

[mm]\bruch{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\bruch{q'\left(x\right)}{q\left(x\right)}+\bruch{p\left(x\right)-q'\left(x\right)}{q\left(x)\right}[/mm]

, wobei Grad p=1, Grad q=2.


Gruß
MathePower

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Fr 28.11.2008
Autor: Tobi1988

Bin mal gespannt wozu das ganze führen wird:

Habe jetzt das hier, nachdem ich Mathepowers Tipp (danke!) benutzt habe...

[mm] \integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx [/mm]
= [mm] \integral \bruch{(\bruch{1}{4} \wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}-\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] dx + [mm] \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] dx + [mm] \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] dx + [mm] \integral \bruch{(-\bruch{1}{4}\wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}+\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] dx

Jetzt kann ich bei zwei von den vier Ausdrücken ln(...) machen um das Integral zu bekommen, aber die anderen beiden schauen irgendwie noch immer recht kompliziert aus. Was nun?

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Fr 28.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Tobi1988,

> Bin mal gespannt wozu das ganze führen wird:
>  
> Habe jetzt das hier, nachdem ich Mathepowers Tipp (danke!)
> benutzt habe...
>  
> [mm]\integral \bruch{\bruch{1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2+\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx+\integral \bruch{\bruch{-1}{4}\wurzel{2}\cdot{}x+\bruch{1}{2}}{x^2-\wurzel{2}\cdot{}x+1}\;dx[/mm]
> = [mm]\integral \bruch{(\bruch{1}{4} \wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}-\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx + [mm]\integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm] dx
> + [mm]\integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm] dx +
> [mm]\integral \bruch{(-\bruch{1}{4}\wurzel{2}-2)x+\bruch{1}{2}+\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx
>  
> Jetzt kann ich bei zwei von den vier Ausdrücken ln(...)
> machen um das Integral zu bekommen, aber die anderen beiden
> schauen irgendwie noch immer recht kompliziert aus. Was
> nun?  


Natürlich steht da im Zähler nicht exakt die Ableitung des Nenners. Deshalb mußt Du folgendes machen:

[mm]\bruch{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\lambda*\bruch{q'\left(x\right)}{q\left(x\right)}+\bruch{p\left(x\right)-\lambda*q'\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/mm]

Dabei ist [mm]\lambda[/mm] so zu wählen, daß [mm]p\left(x\right)-\lambda*q'\left(x\right)[/mm] von x unabhängig ist.

Gruß
MathePower

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 Sa 29.11.2008
Autor: Tobi1988

= $ [mm] \bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx + $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx - $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx - $ [mm] \bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx

= $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx - $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(x^2+\wurzel{2}x+1) [/mm] - [mm] ln(x^2-\wurzel{2}x+1))$ [/mm] = $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1}) [/mm] $

Hoffe ich hab die ln-Gesetze richtig angewendet. Kann ich den letzen Bruch vereinfachen? Weil noch sieht man nicht viel...

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Existenz einer DGL/ODE: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:23 Sa 29.11.2008
Autor: Tobi1988

Um das Ziel nicht aus den Augen zu verlieren gilt noch:

$ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}\cdot{}(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1}) [/mm] $ = $ [mm] \integral [/mm] 1 $ dt

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Tobi1988,

> = [mm]\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx - [mm]\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx


Das muss lauten:

[mm]\red{+}\bruch{1}{4} \integral \bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}[/mm]


>  
> = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x+\wurzel{2}}{x^2+\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8} \integral \bruch{2x-\wurzel{2}}{x^2-\wurzel{2}x+1}[/mm]
> dx = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(x^2+\wurzel{2}x+1) - ln(x^2-\wurzel{2}x+1))[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})[/mm]

Richtig muss es heißen:

[mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}*(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})+\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}+\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}[/mm]

Es sind also noch folgende Integrale auszurechnen:

[mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}= \ \dots[/mm]

[mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}=\ \dots[/mm]


>  
> Hoffe ich hab die ln-Gesetze richtig angewendet. Kann ich
> den letzen Bruch vereinfachen? Weil noch sieht man nicht
> viel...


Jo, hast Du richtig angewandt.


Gruß
MathePower

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Sa 29.11.2008
Autor: Tobi1988

$ [mm] \bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{\wurzel{2}}{4} [/mm] *  [mm] tan^{-1}(\wurzel{2}x+1) [/mm]   $

$ [mm] \bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{-\wurzel{2}}{4} [/mm] *  [mm] tan^{-1}(1-\wurzel{2}x) [/mm] $

(Laut Wolfram Integrator, hoffe das ist ok, wusste auf die Schnelle nicht wie substituieren...)

Aber was sagt mir das dann, bzw. wie kann ich weiter umformen? Ich habe nun die DGL umgeformt in folgenden Ausdruck:

$ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{8}\cdot{}(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})+\bruch{\wurzel{2}}{4} [/mm] *  [mm] tan^{-1}(\wurzel{2}x+1)+\bruch{-\wurzel{2}}{4} [/mm] *  [mm] tan^{-1}(1-\wurzel{2}x) [/mm] $ = $ [mm] \integral [/mm] 1 $ dt

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Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Tobi1988,

> [mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2+\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(\wurzel{2}x+1) [/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{4} \integral{\bruch{1}{x^2-\wurzel{2}x+1} \ dx}= \bruch{-\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(1-\wurzel{2}x)[/mm]
>  
> (Laut Wolfram Integrator, hoffe das ist ok, wusste auf die
> Schnelle nicht wie substituieren...)
>  
> Aber was sagt mir das dann, bzw. wie kann ich weiter
> umformen? Ich habe nun die DGL umgeformt in folgenden
> Ausdruck:
>  
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{8}\cdot{}(ln(\bruch{x^2+\wurzel{2}x+1}{x^2-\wurzel{2}x+1})+\bruch{\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(\wurzel{2}x+1)+\bruch{-\wurzel{2}}{4} * tan^{-1}(1-\wurzel{2}x)[/mm]
> = [mm]\integral 1[/mm] dt


Hier kannst Du nicht weiterumformen, so daß [mm]x\left(t\right)= \ \dots [/mm].

Es gibt nur eine implizite Darstellung der Funktion [mm]x\left(t\right)[/mm].


Gruß
MathePower

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Existenz einer DGL/ODE: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Sa 29.11.2008
Autor: Tobi1988

Hmm, das ist aber nicht ganz optimal, weil mein Ziel ist ja eigentlich zu zeigen, dass es diese Funktion nicht wirklich gibt. Also es gibt kein x, so dass die DGL erfüllt ist.
Mit der Gleichung wird das aber nicht ersichtlich... Oder gibt es irgendwo einen versteckten Widerspruch?

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Existenz einer DGL/ODE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo Tobi1988,

> Hmm, das ist aber nicht ganz optimal, weil mein Ziel ist ja
> eigentlich zu zeigen, dass es diese Funktion nicht wirklich
> gibt. Also es gibt kein x, so dass die DGL erfüllt ist.
> Mit der Gleichung wird das aber nicht ersichtlich... Oder
> gibt es irgendwo einen versteckten Widerspruch?


Aus der impliziten Lösungdarstellung für [mm]x\left(t\right)[/mm] kann man nicht schließen, daß es diese Funktion nicht gibt.

Es gibt nur keine explizite Lösungsdarstellung für diese Funktion.


Gruß
MathePower

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Existenz einer DGL/ODE: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Sa 29.11.2008
Autor: Tobi1988

Hmm, falls jemand eine Idee hat, ob es eine andere Art gibt, um die Existenz der DGL zu zeigen, wäre es nett sich zu melden.

Ansonsten trotzdem vielen Dank an alle die geholfen haben!!

VIele Grüße

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