Existenz einer Umkehrfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mi 21.01.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Also wir hatten einen Satz dazu der einem die Existenz der Umkehrfunktion hier liefern würde (und es kann sich eigentlich nur um eine Aufgabe zu diesem Satz handeln) jedoch müsste ich hierzu eigentlich [mm]f'(z_0)\not=0[/mm] vorraussetzen, was ich scheinbar nciht habe.
Übersehe ich was? und warum sieht die Umkehrfunktion dann genau SO aus?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 21.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Also wir hatten einen Satz dazu der einem die Existenz der
> Umkehrfunktion hier liefern würde (und es kann sich
> eigentlich nur um eine Aufgabe zu diesem Satz handeln)
> jedoch müsste ich hierzu eigentlich [mm]f'(z_0)\not=0[/mm]
> vorraussetzen, was ich scheinbar nciht habe.
Doch, das hast du. Dies wird gerade dadurch gesagt, dass [mm] $f(z_0)$ [/mm] eine [mm] $w_0$-Stelle [/mm] 1. Ordnung ist.
> Übersehe ich was? und warum sieht die Umkehrfunktion dann
> genau SO aus?
Nun, das sollst du gerade zeigen dass man sie so schreiben kann 
Mal eine etwas aehnliche Umformung, die dir vielleicht hilft:
Sei [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] f(e^{i t})$, $\mathbb{D}$ [/mm] der Einheitskreis und liege $a$ nicht auf dem Traeger von [mm] $\gamma$. [/mm] Dann gilt [mm] $\int_\gamma \frac{1}{\zeta - a} d\zeta [/mm] = [mm] \int_0^{2 \pi} \frac{i f'(e^{i t}) e^{i t} }{ f(e^{i t} - a } [/mm] dt = [mm] \int_{\partial \mathbb{D}} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta) - a} d\zeta$.
[/mm]
Versuch das mal nachzuvollziehen. So einen aehnlichen Trick kannst du hier auch anwenden.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 21.01.2009 | | Autor: | MacMath |
> Doch, das hast du. Dies wird gerade dadurch gesagt, dass
> [mm]f(z_0)[/mm] eine [mm]w_0[/mm]-Stelle 1. Ordnung ist.
>
Daniel schrieb
[was dummes]
Hast recht..aber wie bekomme ich den status auf beantwortet?^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 22.01.2009 | | Autor: | MacMath |
> [mm]\int_\gamma \frac{1}{\zeta - a} d\zeta = \int_0^{2 \pi} \frac{i f'(e^{i t}) e^{i t} }{ f(e^{i t} - a } dt = \int_{\partial \mathbb{D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta) - a} d\zeta[/mm].
>
> Versuch das mal nachzuvollziehen. So einen aehnlichen Trick
> kannst du hier auch anwenden.
>
Also die erste Umformung ist ja nur die Definition für Wegintegrale eingesetzt, aber die zweite verstehe ich nicht, kann es sein dass da etwas fehlt?
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > [mm]\int_\gamma \frac{1}{\zeta - a} d\zeta = \int_0^{2 \pi} \frac{i f'(e^{i t}) e^{i t} }{ f(e^{i t} - a } dt = \int_{\partial \mathbb{D}} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta) - a} d\zeta[/mm].
Da fehlte eine geschweifte Klammer.
> Also die erste Umformung ist ja nur die Definition für
> Wegintegrale eingesetzt, aber die zweite verstehe ich
> nicht, kann es sein dass da etwas fehlt?
Ist's jetzt besser?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Do 22.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Ich meinte nicht syntaktisch... ein /zeta im Zähler war mein Wunsch *g*
Warum fällt dort alles weg? also das [mm]ie^{it}[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich meinte nicht syntaktisch... ein /zeta im Zähler war
> mein Wunsch *g*
:D
> Warum fällt dort alles weg? also das [mm]ie^{it}[/mm]?
Du integrierst ja ueber den Weg [mm] $\tilde{\gamma} [/mm] : [0, [mm] 2\pi] \to \IC$, [/mm] $t [mm] \mapsto e^{i t}$, [/mm] mit dem Integrand [mm] $h(\zeta) [/mm] := [mm] \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta) - a}$. [/mm] Damit ist [mm] $\int_{\tilde{\gamma}} h(\zeta) d\zeta [/mm] = [mm] \int_0^{2 \pi} h(\gamma(t)) \gamma'(t) [/mm] dt = [mm] \int_0^{2 \pi} h(e^{i t}) [/mm] i [mm] e^{i t} [/mm] dt$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 22.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Stimmt, das macht Sinn.
Ich habe jetzt mal versucht den Satz vom Argumentprinzip anzuwenden (da ich denke dass die Aufgabenstellung zu diesem Satz gehört)
der sagt mir jedoch soweit ich das sehen kann dass
[mm]\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta) - \omega_0}d\zeta=1[/mm] für jeden Weg [mm] \Gamma [/mm] in diesem Kreis.
Seh ich das richtig? Jetzt müsste ich also zeigen dass dieses [mm] \zeta [/mm] "mehr" in der Aufgabenstellung auf die Komposition f°g zurückzuführen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Stimmt, das macht Sinn.
> Ich habe jetzt mal versucht den Satz vom Argumentprinzip
> anzuwenden (da ich denke dass die Aufgabenstellung zu
> diesem Satz gehört)
>
> der sagt mir jedoch soweit ich das sehen kann dass
>
> [mm]\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta) - \omega_0}d\zeta=1[/mm]
> für jeden Weg [mm]\Gamma[/mm] in diesem Kreis.
>
>
> Seh ich das richtig?
Nun, das stimmt schon, aber ich weiss nicht ob dir das weiterhilft.
> Jetzt müsste ich also zeigen dass
> dieses [mm]\zeta[/mm] "mehr" in der Aufgabenstellung auf die
> Komposition f°g zurückzuführen ist?
Wie meinst du das jetzt?
Die Aufgabe kannst du wunderbar ohne das Argumentsprinzip loesen, wenn du das Integral umschreibst wie in den anderen Posts von mir beschrieben und wenn du einmal die Cauchysche Integralformel anwendest (und zwar auf [mm] $f^{-1}(w)$).
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Do 22.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Irgendwie verwirrt mich deine Umformung noch immer.
Aber ich versuche mich mal "rückwärts" zu nähern. Habe durch Cauchysche Integralformel:
[mm] f^{-1}(\omega) = \frac{1}{2\pi i}\int_{K_r(\omega_0}\frac{f^{-1}(\zeta)}{\zeta-\omega_o}d\zeta[/mm]
Aber jetzt doch der Kreis entlang dem ich integriere eine Umgebung von [mm] \omega [/mm] anstatt [mm] z_0, [/mm] das passt doch gar nicht mehr zur AUfgabe
[EDIT] formel korrigiert, hatte f im zähler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Irgendwie verwirrt mich deine Umformung noch immer.
>
> Aber ich versuche mich mal "rückwärts" zu nähern. Habe
> durch Cauchysche Integralformel:
> [mm]f^{-1}(\omega) = \frac{1}{2\pi i}\int_{K_r(\omega_0}\frac{f^{-1}(\zeta)}{\zeta-\omega_o}d\zeta[/mm]
>
> Aber jetzt doch der Kreis entlang dem ich integriere eine
> Umgebung von [mm]\omega[/mm] anstatt [mm]z_0,[/mm] das passt doch gar nicht
> mehr zur AUfgabe
Warum nimmst du auch einen Kreis? Warum nicht z.B. [mm] $\tilde{\gamma} [/mm] : [0, [mm] 2\pi] \to \IC$, [/mm] $t [mm] \mapsto f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 22.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Hm..weil es so in C.I. steht, aber ich darf einen anderen Zyklus nehmen, da f bihol. ist also dieser Zyklus homolog zum Kreis ist ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hm..weil es so in C.I. steht, aber ich darf einen anderen
> Zyklus nehmen, da f bihol. ist also dieser Zyklus homolog
> zum Kreis ist ja?
Nun, dass es dazu homolog ist musst du dir noch ueberlegen. Wichtig ist vor allem die Umlaufzahl; um die zu berechnen brauchst du evtl. das Argumentsprinzip. (Und den gleichen Integralumformungstipp wie vorher auch.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo nocheinmal
> Ich meinte nicht syntaktisch... ein /zeta im Zähler war
> mein Wunsch *g*
Ein Tipp: man kann ja auch $z = [mm] f^{-1}(f(z))$ [/mm] einsetzen an gewissen Stellen, wenn's besser passt.
Und ganz zum Schluss braucht man die Cauchysche Integralformel.
LG Felix
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