Existenz einer hol. Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Di 03.02.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen sie die Existenz einer hol. Fkt:
[mm] K_1(1)\to \IC [/mm] mit [mm] h^{(n)}(1)=n!*2^n \forall n\in \IN_0 [/mm] |
Ich bin mir ziemlich sicher das eine solche Funktion nicht existiert da diese ja
[mm] h(z)=\summe_{i=0}^{\infty}2^n(z-1)^n [/mm] erfüllen müsste.
Meine Frage ist nun für welches z ich die Divergenz der Reihe zeigen muss um zu beweisen dass eine solche Funktion nicht existiert (insofern mein Ansatz richtig ist)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen oder widerlegen sie die Existenz einer hol. Fkt:
> [mm]K_1(1)\to \IC[/mm] mit [mm]h^{(n)}(1)=n!*2^n \forall n\in \IN_0[/mm]
>
> Ich bin mir ziemlich sicher das eine solche Funktion nicht
> existiert da diese ja
>
> [mm]h(z)=\summe_{n=0}^{\infty}2^n(z-1)^n[/mm] erfüllen müsste.
>
Das ist doch schon die richtige Idee !!
Dein obiges h ist der einzige Kandidat, der in Frage kommt .
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^n. [/mm] Dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] = 2.
Somit ist der Konvergenzradius der Potenzreihe = 1/2. h ist also holomorph auf { z: |z-1|<1/2 }. Da die Potenzreihe für |z|>1/2 divergiert, kann h auf
$ [mm] K_1(1) [/mm] $ nicht holomorph sein
FRED
> Meine Frage ist nun für welches z ich die Divergenz der
> Reihe zeigen muss um zu beweisen dass eine solche Funktion
> nicht existiert (insofern mein Ansatz richtig ist)
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