Existenz periodischer Orbit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte das folgende planara System in Polarkoordinaten:
[mm] $\frac{dr}{dt}=r-r^3+r^2\sin\varphi,~~\frac{d\varphi}{dt}=1+\frac{1}{2} [/mm] r [mm] \cos\varphi$.
[/mm]
Zeige: Es gibt mindestens einen periodischen Orbit.
Tipp: Poincaré-Bendixson |
Hi, ich hab noch nie mit dem Satz von Poincaré-Bendixson richtig was gemacht, deswegen bin ich ein bisschen überfordert gerade.
Ich kenne den Satz so: Jede nichtleere, kompakte [mm] $\omega$-Limesmenge, [/mm] die kein Equilibrium enthält, ist ein periodischer Orbit.
Also muss man wohl so eine Limesmenge finden...?
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Fr 08.01.2016 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, sick_of_math,
bei sowas kann man oft mit einem Korollar arbeiten, das aus dem Satz von Poincaré-Bendixson folgt: Eine abgeschlossene, beschränkte Teilmenge $D$ des Phasenraums [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] die positiv invariant unter dem Fluss ist, enthält einen Grenzzyklus.
Ein Grenzzyklus ist eine isolierte periodische Lösung.
Für Deine Aufgabe bedeutet das, dass du nach so einer Teilmenge $D$ suchen kannst. Tipp: Kreisring.
VG
Dennis
|
|
|
|
