Existenz v. uneig. Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren.
[mm] I=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2}dx}, I_{2}=\integral_{\infty}^{-\inftf}{exp(-x^2) dx} [/mm] |
Hallo,
kann mir jmd sagen, was mit existieren gemeint ist? Muss ich hier ''einfach'' die Stammfunktion bestimmen?
Lg Laura
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Hallo Laura87,
> Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
> existieren.
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> [mm]I=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2}dx}, I_{2}=\integral_{\infty}^{-\infty}{exp(-x^2) dx}[/mm]
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> Hallo,
>
> kann mir jmd sagen, was mit existieren gemeint ist? Muss
> ich hier ''einfach'' die Stammfunktion bestimmen?
Wenn es geht (bzw. du es kannst), kannst du das machen.
Für einen Existenznachweis genügt es zu zeigen, dass die Integrale bzw. deren Werte beschränkt sind (also einen (betraglichen) Wert [mm] $<\infty$ [/mm] haben)
Für das erste kannst du dir mal [mm] $\lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}\int\limits_{\varepsilon}^1{\frac{1}{x^2} \ dx}$ [/mm] anschauen, das (unbestimmte Integral kannst du ja leicht berechnen)
>
> Lg Laura
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke als erstes für die schnelle Antwort.
Meinst du das so:
[mm] \lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}\int\limits_{\varepsilon}^1{\frac{1}{x^2} }\ [/mm] dx= [mm] \lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}[-\bruch{1}{x}]^1_{\varepsilon}=-1< \infty
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> danke als erstes für die schnelle Antwort.
>
> Meinst du das so:
>
>
> [mm]\lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}\int\limits_{\varepsilon}^1{\frac{1}{x^2} }\[/mm] dx= [mm]\lim\limits_{\varepsilon\downarrow 0}[-\bruch{1}{x}]^1_{\varepsilon}=-1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist doch [mm]-\frac{1}{1}+\frac{1}{\varepsilon}[/mm]
Und für [mm]\varepsilon\downarrow 0[/mm] geht doch [mm]\frac{1}{\varepsilon}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] ...
> [mm]< \infty[/mm]
Nein, dieses Integral divergiert gegen [mm]\infty[/mm], das uneigentliche Integral [mm]\int\limits_{0}^1{\frac{1}{x^2} \ dx}[/mm] existiert also nicht!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
Danke!
muss ich bei b) analog fortfahren...also mit [mm] \varepsilon\downarrow [/mm] 0?
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Hallo nochmal,
> Danke!
>
> muss ich bei b) analog fortfahren...also mit
> [mm]\varepsilon\downarrow[/mm] 0?
Nein, wieso solltest du das wollen?
Der Integrand hat bei [mm]x=0[/mm] doch keinen Pol ...
"Leider" lässt sich das Integral nicht elementar lösen.
Als Tipp: es konvergiert (existiert also).
Zunächst beachte, dass [mm]I_2=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\exp(-x^2) \ dx}=-2\underbrace{\int\limits_{0}^{\infty}{\exp(-x^2) \ dx}}_{:=I_3}[/mm] ist.
Du könntest nun versuchen, [mm]I_3[/mm] gegen eine konvergente Majorante abzuschätzen, also ein "größeres" Integral zu finden, dessen endlichen Wert man leicht berechnen kann (oder schon kennt)
Eine Stammfunktion bekommst du wie gesagt nicht elementar hin, da müsstest du einige Klimmzuüge machen:
Berechne etwa [mm]I_3^{\red{2}}[/mm] als Doppelintegral und transformiere dann in Polarkoordinaten.
Dazu findest du im Netz sicher viel - bestimmt auch auf wikipedia.
Schaue mal nach "Gaußsches Fehlerintegral"
Sinn der Aufgabe ist es aber sicher, den ersten Weg zu nehmen und nicht auszuintegrieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
ok vielen dank für deine Unterstützung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mi 24.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo nochmal,
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> > Danke!
> >
> > muss ich bei b) analog fortfahren...also mit
> > [mm]\varepsilon\downarrow[/mm] 0?
>
> Nein, wieso solltest du das wollen?
>
> Der Integrand hat bei [mm]x=0[/mm] doch keinen Pol ...
>
> "Leider" lässt sich das Integral nicht elementar lösen.
>
> Als Tipp: es konvergiert (existiert also).
>
> Zunächst beachte, dass
> [mm]I_2=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\exp(-x^2) \ dx}=-2\underbrace{\int\limits_{0}^{\infty}{\exp(-x^2) \ dx}}_{:=I_3}[/mm]
> ist.
>
> Du könntest nun versuchen, [mm]I_3[/mm] gegen eine konvergente
> Majorante abzuschätzen, also ein "größeres" Integral zu
> finden, dessen endlichen Wert man leicht berechnen kann
> (oder schon kennt)
Da würde ich konkret empfehlen, den Funktionsterm [mm]e^{-x^2}[/mm] mit [mm]e^{-x}[/mm]
abzuschätzen (was für x>1 eindeutig funktioniert).
Gruß Abakus
>
> Eine Stammfunktion bekommst du wie gesagt nicht elementar
> hin, da müsstest du einige Klimmzuüge machen:
>
> Berechne etwa [mm]I_3^{\red{2}}[/mm] als Doppelintegral und
> transformiere dann in Polarkoordinaten.
>
> Dazu findest du im Netz sicher viel - bestimmt auch auf
> wikipedia.
>
> Schaue mal nach "Gaußsches Fehlerintegral"
>
> Sinn der Aufgabe ist es aber sicher, den ersten Weg zu
> nehmen und nicht auszuintegrieren ...
>
>
>
>
> Gruß
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> schachuzipus
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